模拟试卷 广东省韶关市第一中学2019届高三上学期第一次调研考试数学(理)试题(13页):
时间:2021-11-06 16:33:15 来源:网友投稿
2019 届高三上学期第一次调研考试
数学(理科)试题
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.若复数 z 满足 z (3 4i) 1 ,则 z 的虚数是(
)
A. B. i
2.已知集合 A?x1 x 2?, B?x y
C.
? x 2 2x? ,则 A∪B=(
D.
)
4
25
i
A.x1 x 0?
B.?x1 x 0?
C.?x 0 x 2?
D.?x 0 x 2?
3.平面直角坐标系 xOy 中, i , j 分别是与 x 轴、 y 轴正方向同向的单位向量,向量 a 2i , b i j ,
以下说法正确的是(
)
A. a b 1
B. a b
C. a b b
D. a / /b
4.已知直线 a 、 b ,平面 、 、 ,下列命题正确的是(
)
A.若 , ,?
a ,则 a?
B.若
a , b ,?
c ,则 a / /b / /c
C.若
a , b / / a ,则 b / /?
D.若 ,
a , b / /? ,则 b / / a
5.已知直线 4 x 3 y a 0 与
C : x 2 y 2 4x 0 相交于 A 、 B 两点,且AOB 120 ,则实数 a 的
值为(
)
A. 3
B.10
C. 11或 21
D. 3 或13
?
?
x
5
)
A. 2
B.2
C.2
D. 4
7.已知函数 f x? A sinx A 0,? 0, 0 2 的部分图象如图所示,则 的值为(
)
第页
14 425254256.已知 x 1 ax1 的展开式中常数项为40
4 4
25
25
4
25
6.已知 x 1 ax
1
? 的展开式中常数项为40 ,则 a 的值为(
A.
?
3
或
2?
3
B.
2?
3
C.
4?
3
D.
?
3
或
4?
3
8.在如图的程序框图中,输出的 n 值为(
)
A.14
B. 32
C. 46
D. 53
9.已知双曲线的焦距为 4 , A 、 B 是其左、右焦点,点 C 在双曲线右支上,△ABC 的周长为10 ,则 AC
的取值范围是(
)
A. 2,5?
B. 2, 6?
C.
?3,5?
D.3, 6?
10.如图是某几何体的三视图,图中每个小正方形的边长为1,则此几何体的体积为(
)
第页
2
A.
8
3
B.
16
3
C. 4
D.
20
3
x 2 x
)
A. (, e]
B. [0, e]
C. (, e)
D. [0, e)
12.在直角梯形 ABCD , AB AD , DC / / AB , AD DC 1 , AB 2 , E , F 分别为 AB , BC 的
中点,点 P 在以 A 为圆心, AD 为半径的圆弧 DEM 上变动(如图所示).若 AP? ED? AF ,其中
? ,? R ,则 2 的取值范围是(
)
A. [? 2,1]
B. [? 2, 2]
C. [?
1 1
2 2
D. [?
2
2
,
2
2
]
第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.函数 f ( x) 3 sin(2x
?
3
?
2
.
14.已知数列 {an}是等差数列,数列 {bn}是等比数列,满足: a1000 a1018 2? , b6b2012 2 ,则
tan
a2 a2016
1 b3b2015
?
.
15.已知等差数列an? 中, a2 a4 16 , a1 1 、 a2 1、 a4 1成等比数列,把各项如下图排列:
则从上到下第10 行,从左到右的第11个数值为
.
16.平面四边形 ABCD 中,?A 60 ,AD DC ,AB
3
-15第页
3 ,BD 2 ,则 BC 的最小长度为
.11.已知函数 f ( x) xe kx 2e 2kx 只有一个零点,则实数 k 的取值范围为(, ]) 的图象在区间 (0, ) 上的对称轴方程为
11.已知函数 f ( x) xe kx 2e 2kx 只有一个零点,则实数 k 的取值范围为(
, ]
) 的图象在区间 (0, ) 上的对称轴方程为
三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
2 7?
? 6
?
?
(Ⅰ)求函数 f x 的最小正周期及单调递增区间;
(Ⅱ)在ABC 中,三内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 f A
AB AC 6 ,求 a 的值.
1
2
,若 b c 2a ,且
18. 如图,在四面体 ABCD 中,ABC?ADC 90 , BC BD
2
2
CD .
(Ⅰ)求证: AD BD;
(Ⅱ)若 AB 与平面 BCD 所成的角为 60 ,点 E 是 AC 的中点,求二面角 C BD E 的大小.
19. 甲、乙、丙三人去某地务工,其工作受天气影响,雨天不能出工,晴天才能出工.其计酬方式有两种,
方式一:雨天没收入,晴天出工每天 250 元;方式而:雨天每天120 元,晴天出工每天 200 元;三人要选
择其中一种计酬方式,并打算在下个月( 30 天)内的晴天都出工,为此三人作了一些调查,甲以去年此月
的下雨天数(10 天)为依据作出选择;乙和丙在分析了当地近 9 年此月的下雨天数( n )的频数分布表(见
下表)后,乙以频率最大的 n 值为依据作出选择,丙以 n 的平均值为依据作出选择.
(Ⅰ)试判断甲、乙、丙选择的计酬方式,并说明理由;
(Ⅱ)根据统计范围的大小,你觉得三人中谁的依据更有指导意义?
(Ⅲ)以频率作为概率,求未来三年中恰有两年,此月下雨不超过11天的概率.
20. 已知椭圆 C1 :
x 2
a 2
y 2
b
两个顶点,点 P 在椭圆 C1 上,且 PF1 2 2 , PF2 2 2 .
第页
4n8910111213频数312021
n
8
9
10
11
12
13
频数
3
1
2
0
2
1
17. 已知函数 f
17. 已知函数 f x? 2 cos x sin
? 2x? 1 x R .
? 2 1?a b 0 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,圆 C2 经过椭圆 C1 的两个焦点和
(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程和点 P 的坐标;
(Ⅱ)过点 P 的直线 l1 与圆 C2 相交于 A 、 B 两点,过点 P 与 l1 垂直的直线 l2 与椭圆 C1 相交于另一点 C ,
求 △ABC 的面积的取值范围.
21. 已知函数 f x? e
xm
? ln x 2 a** 2? m ,
(Ⅰ)若 a 0 ,且 f?1? 是函数的一个极值,求函数 f x 的最小值;
(Ⅱ)若 a 0 ,求证:x1, 0? , f x? 0 .
请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,已知圆 C 的圆心坐标为 (2, 0) ,半径为 2 ,以坐标原点为极点, X 轴的正半轴为极轴
? x?t
? y 1 t
( t 为参数).
(1)求圆 C 和直线 l 的极坐标方程;
? 2
23.选修 4-5:不等式选讲
已知函数 f x? 2x a x 2 (其中 a R ).
(1)当 a?1 时,求不等式 f ( x) 6 的解集;
2
第页
5建立极坐标系,直线 l 的参数方程为:(2)点 P 的极坐标为1,? ,直线 l 与圆
建立极坐标系,直线 l 的参数方程为:
(2)点 P 的极坐标为1,
? ,直线 l 与圆 C 相交于 A , B ,求 PA PB 的值.
(2)若关于 x 的不等式 f ( x) 3a 2 x 恒成立,求 a 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:CBCAD
二、填空题
6-10:CCDCB
11、12:DA
13. x
?
12
14. 3
15. 275
16.
7
2
三、解答题
(17)解答:
f ( x) sin(
7?
6
1
2
3
2
sin 2 x cos 2 x
1
2
cos 2 x
3
2
sin 2 x
?
6
(Ⅰ)最小正周期: T ,
2
2 6 2 3 6
?
3 6
?
6 2 6 6 6
,
又因为 2a b c ,
而 AB AC bc cos A
1
2
bc 6,? bc 12 ,
? cos A
1
2
?
(b c) 2 a 2
2bc
? 1
4a 2 a 2
24
? 1
a 2
8
? 1 ,? a 2 3 .
2 2 2
? BD BC ,
又 AB BC , BD
? BC 平面ABD ,
? BC AD ,
又 CD AD , BC
AB B ,
CD C ,
? AD 平面BCD ,
? AD BD .
(Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)知,AB 与平面 BCD 所成的角为ABD ,即ABD 60? ,
设 BD=2,则 BC=2,在 Rt?ADB 中,AB=4,
第页
6? 2 x) 2sin 2 x 1? cos 2 x sin(2 x ) .2?由 2k? 2k(k Z ) 可解得: k? x k? 2 x(k?
? 2 x) 2sin 2 x 1? cos 2 x
? sin(2 x ) .
2?
由 2k
? 2k
(k Z ) 可解得: k
? x k
? 2 x
(k Z ) ,
所以 f ( x) 的单调递增区间为: [k
, k ](k Z ) ;
? 2k?或
? 2k? (k Z )
(Ⅱ)由 f ( A) sin(2 A
)
可得: 2 A
而 A? 0, 所以 A
3
(18)解:(Ⅰ)由已知得 BC BD CD ,
由(Ⅰ)中 BC 平面ABD ,得平面 ABC⊥平面 ABD,在平面 ABD 内,过点 B 作 Bz AB ,则 Bz
平面 ABC,以 B 为原点,建立空间直角坐标系 B xyz ,
则 B(0, 0, 0) , A(4, 0, 0) , C (0, 2, 0) ,
E (2, 1, 0) ,由 xD| BD | cos 60 1,
z D| BD | sin 60 3 ,
得 D(1, 0,
3) ,
∴ BE (2, 1, 0) , BD (1, 0,
3) ,
设平面 BDE 的法向量为 m ( x, y, z) ,
m BE 2 x y 0
则
m BD x 3z 0
,取 z 1,解得
y 2 3
,
∴ m (? 3, 2 3, 1) 是平面 BDE 的一个法向量,
又 AD (?3, 0,
3) 是平面 CBD 的一个法向量.
设二面角 A BD E 的大小为? ,易知 为锐角,
则 cos| cos m, AD|?
| m AD |
| m || AD |
?
4 3
4 2 3
?
1
2
,
∴? 60 ,即二面角 C BD E 的大小为 60 .
【解法 2:由(Ⅰ)知, AB 与平面 BCD 所成的角为ABD ,即ABD 60 ,
分别取 CD 、 BD 的中点 F 、 G ,连 EG 、 FG ,
在 Rt?ABC 和 Rt?ADC 中, E 为斜边 AC 中点,故 BE DE
∴ EG BD;
又∵ BC 平面 ABD ,∴ BC BD ,
又∵ BC // FG ∴ FG BD;
∴EGF 为二面角 C BD E 的平面角,
由(Ⅰ)知 AD 平面 BCD ,又 AD // EF ,
故 EF 平面 BCD ,从而 EF FG ,
7
-15第页
1
2
AC ,
x? 3
∴ tanEGF
EF
FG
1
1
2
AD
BC
?
3BD
BC
? 3 ,
EGF 60 ,即二面角 C BD E 的大小为 60 .
(19)解:(Ⅰ)按计酬方式一、二的收入分别记为 f (n) 、 g (n) ,
f (10) 250 (3010) 5000 ,
g (10) 120 10 200 20 5200 ,
所以甲选择计酬方式二;
由频数分布表知频率最大的 n=8,
f (8) 250 (30 8) 5500 ,
g (8) 120 8 200 22 5360 ,
所以乙选择计酬方式一;
n 的平均值为
1
9
? (8 3 9 1 10 2 12 2 13 1) 10 ,
所以丙选择计酬方式二;
(Ⅱ)甲统计了 1 个月的情况,乙和丙统计了 9 个月的情况,
但乙只利用了部分数据,丙利用了所有数据,
所以丙的统计范围最大,
三人中丙的依据更有指导意义;
(Ⅲ)任选一年,此月下雨不超过 11 天的频率为
6
9
?
2
3
,以此作为概率,则未来三年中恰有两年,此月下
2 2 2
3
2
3
)
4
9
.
(20)解:(I)设 F1 (?c, 0) , F2 (c, 0) ,
可知圆 C 2 经过椭圆焦点和上下顶点,得 b c ,
由题意知 2a| PF1 | | PF2 |? 4 ,得 a 2 ,
2 2 2
2 ,
所以椭圆 C1的方程为
2
4
?
2
2
? 1,
点 P 的坐标为 (2, 0) .
(II)由过点 P 的直线 l2 与椭圆 C1相交于两点,知直线 l2 的斜率存在,
设 l2 的方程为 y k ( x 2) ,由题意可知 k 0 ,
2 2 2 2
设 C ( x2 , y 2 ) ,则 2 x 2
8k 2 4
2k 2 1
,得 x 2
4k 2 2
2k 2 1
,
2
4 k 2 1
2k 2 1
;
由直线 l1 与 l2 垂直,可设 l1 的方程为 y?
第页
1
k
( x 2) ,即 x ky 2 0
8? 2雨不超过 11 天的概率为 C3 ( ) (1由 b c a ,得 b cxy联立椭圆方程,得 (2
? 2
雨不超过 11 天的概率为 C3 ( ) (1
由 b c a ,得 b c
x
y
联立椭圆方程,得 (2k 1) x 8k x 8k 4 0 ,
所以 | PC |? 1 k | x 2 2 |?
圆心 (0, 0) 到 l1 的距离 d
2
1 k 2
,又圆的半径 r
2 ,
所以 (
| AB | 2 2 2 4
2 k 1
?
2 (k 2 1)
k 2 1
,
| AB |? 2 2
k 2 1
k 2 1
,
由 d r 即
2
1 k
2
? 2 ,得 k 2 1 ,
SABC
?
1
2
| AB || PC |? 2
k 2 1 2k 2 1
?
? 4 2
k 2 1
2k 2 1
,
设 t
k 2 1 ,则 t 0 , S?ABC
4 2t
2
?
4 2
3
t
?
4 2
2 6
?
2 3
3
,
当且仅当 t
6
2
即 k?
10
2
时,取“=”,
所以△ABC 的面积的取值范围是 (0,
2 3
3
] .
(21)解:(I) f ( x) e
x m
? ln( x 2) ax 2 2ax m ,定义域为 (?2,?) ,
f ' ( x) e x m
1
x 2
? 2ax 2a .
由题意知 f ' (?1) 0 ,即 e
m?1
? 1 0 ,解得 m 1,
所以 f ( x) e
x1
? ln( x 2) ax( x 2) 1, f ' ( x) e x1
1
x 2
? 2ax 2a ,
又 y e
x1
、 y?
1
x 2
、 y 2ax 2a ( a 0 )在 (?2,?) 上单调递增,
可知 f ' ( x) 在 (?2,?) 上单调递增,又 f ' (?1) 0 ,
所以当 x (?2, 1) 时, f ' ( x) 0;当 x (?1,?) 时, f ' ( x) 0 .
得 f ( x) 在 (?2, 1) 上单调递减, f ( x) 在 (?1,?) 上单调递增,
所以函数 f ( x) 的最小值为 f (?1) 1 a 1?a .
(II )若 a 0 ,得 f ( x) e
x m
? ln( x 2) m , f ' ( x) e x m
1
x 2
由 f ' ( x) 在 [?1, 0] 上单调递增,可知 f ( x) 在 [?1, 0] 上的单调性有如下三种情形:
①当 f ( x) 在 [?1, 0] 上单调递增时,
可知 f ' ( x) 0 ,即 f ' (?1) 0 ,即 e
m?1
? 1 0 ,解得 m 1,
f (?1) e m?1 m ,令 g (m) e m?1 m ,则 g ' (m) e m?1 1 0 ,
所以 g (m) 单调递增, g (m) g (1) 0 ,所以 f ( x) f (?1) g (m) 0;
②当 f ( x) 在 [?1, 0] 上单调递减时,
第页
m
1
2
? 0 ,解得 m? ln 2 ,
9) r
) r d 2 2
k 2 1 4 k 2 1
2t 3
2t
可知 f ' ( x) 0 ,即 f ' (0) 0 ,即 e
m m
m
? 0 ,所以 f ( x) f (0) 0;
m m
1
2
? 0 ,
所以 h(m) 单调递减, h(m) h(? ln 2)
1
2
? 0 ,所以 f ( x) f (0) h(m) 0;]
③当 f ( x) 在 [?1, 0] 上先减后增时,得 f ' ( x) 在 [?1, 0] 上先负后正,
所以x0 (?1, 0) , f ' ( x0 ) 0 ,即 e
x m
?
1
x0 2
,取对数得 x0 m? ln( x0 2) ,
可知 f ( x) min f ( x0 ) e
x m
? ln( x0 2) m
1
x0 2
? x0
( x0 1) 2
x0 2
? 0 ,
所以 f ( x) 0;
综上①②③得:x [?1, 0] , f ( x) 0 .
【或:若 a 0 ,得 f ( x) e
x m
? ln( x 2) m , f ' ( x) e x m
1
x 2
由 f ' ( x) 在 [?1, 0] 上单调递增,分如下三种情形:
①当 f ' ( x) 0 恒成立时,只需 f ' (?1) 0 ,即 e
m?1
? 1 0 ,解得 m 1,
可知 f ( x) 在 [?1, 0] 上单调递增, f (?1) e
m?1
? m ,令 g (m) e m?1 m ,
则 g ' (m) e
m?1
? 1 0 ,所以 g (m) 单调递增, g (m) g (1) 0 ,
所以 f ( x) f (?1) g (m) 0;
m
1
2
? 0 ,解得 m? ln 2 ,
m m
所以 f ( x) f (0) 0;
③当 f ' ( x) 在 [?1, 0] 上先负后正时, f ( x) 在 [?1, 0] 上先减后增,
m
? 0 ,
所以x0 (?1, 0) , f ' ( x0 ) 0 ,即 e
x m
?
1
x0 2
,取对数得 x0 m? ln( x0 2) ,
可知 f ( x) min f ( x0 ) e
x m
? ln( x0 2) m
1
x0 2
? x0
( x0 1) 2
x0 2
? 0 ,
所以 f ( x) 0;
综上①②③得:x [?1, 0] , f ( x) 0 . 】
(22)解:圆
的直角坐标方程为
,
代入圆
得:
,
化简得圆
的极坐标方程:
,
第页
? x?t
? y 1 t
得
,
10得 f (0) e ln 2 m e ln 2 ln 2
得 f (0) e ln 2 m e ln 2 ln 2 e
[或:令 h(m) e m ln 2 ,则 h' (m) e 1?
②当 f ' ( x) 0 恒成立时,只需 f ' (0) 0 ,即 e
可知 f ( x) 在 [?1, 0] 上单调递减时, f (0) e ln 2 m e ln 2 ln 2 e
由 l :
?l 的极坐标方程为 cos sin? 1即?
?
2
1
?
4
.
? 2
? 2
直线 的参数的标准方程可写成
2
( t 为参数),
代入圆
得: (?
2
2
t 2)2 (1
t ) 2 ,
化简得:
,
,
.
(23)解:(1)当 a?1时,函数 f ( x) 2x1 x 2 ,
则不等式为 2x1 x 2 6 ,
1
x 2 时,原不等式为 2x1 x 2 6 ,解得: x 3;
②当
③当 x
原不等式的解集为 {x | x?1或x 3}.
方法二:当
?
?3x 3, x 2
?
? 2
? 1
结合图象可得原不等式的解集为 {x | x?1或x 3}.
第页
11) 得点 P 的直角坐标为 P(1, 0) ,(2)由 P(1,2 sin(
) 得点 P 的直角坐标为 P(1, 0) ,
(2)由 P(1,
2 sin( )
? x? t
? y 1 2 t
2 2
2
? x 2 时,原不等式为 2x1 2 x 6 ,解得: x 5 .此时不等式无解;
1
2
时,原不等式为1 2x 2 x 6 ,解得: x?1,
1
2
a?1时,函数 f ( x) 2x1 x 2 x 1, 1 x 2 ,画出函数 f ( x) 的图象,如图:
3x 3, x 2
2 2
2
而 2x a 2 x 2 2x a 2x 4 (2x a) (2x 4) a 4 ,
2
解得 a 4 3a 2 或 a 4?3a 2 ,
4
3
4
3
第页
12(2)不等式 f ( x) 3a 2 x 即为 2x a x 2 3a
(2)不等式 f ( x) 3a 2 x 即为 2x a x 2 3a 2 x ,
即关于 x 的不等式 2x a 2 x 2 3a 恒成立.
所以 a 4 3a ,
或 a .
解得1 a
所以 a 的取值范围是 [?1, ].
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