高考分类整理汇编之概率统计与排列组合二项式定理1x

2011年高考分类汇编之概率统计与排列组合二项式定理（一）

安徽理

（12）设（xT）”二%+￥+Q折+L 则.

（12） C*【命题意图】本题考查二项展开式 .难度中等.

】〃二席（项七-璐，心 或（-1）。二C；；,所

」二"U

（20）（本小题满分13分）

工作人员需进入核电站完成某项具有 .高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个

人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出， 再派 下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别 hhh

— ,假设 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立 ^

（I）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个

人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（口）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为 印的S ,其中

的一个排列，求所需派出人员数 .目X的分布列和均值（数字期望）

EX；

（川）假定1 ＞夕3 ,试分析以怎样的 先后顺序派出人员，可使所需派出的人员

数目的均值（数字期望）达到最小。

（20）（本小题满分13分）本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其

分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、 合情推理

与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识 ^

解：（I ）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是

所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于

1-（1-孙）（1-凡）二a +孙+凡一 Pi力一力巧一凡四+p仍缶

（ii）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为 时，随机变量 X的分布

列为

X

1

2

3

P

(Ei)务

所需派出的人员数目的均值（数学期望） EX是

盛Mi + 2（1 -右）的+3（1 -疝1 -的）二3 -勾-处+ q电

（iii）（方法一）由（ii）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，

朋二3-2力-力+a四

根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值 ^

下面证明：对于 hhh 的任意排列 皿用， 都有

3-2?i-的+绍拦3-20-为+为四 （*）

事实上，?'? -"一 ■：< ； :" *一'

=2。- %）+。- m 一 P1P2+q血

=2（外-幻）+（力-务）-81-%）孔-S-qQ

二（2-孙）（外-%）+（l- g】）（S - 知）

^（1-<71X01 + 助一（豹 +撮］

> 0

即（*）成立.

（方法二）⑴可将（ii）中所求的ex改写为3一（口1+的）+务的一91，若交换前两人 的派出顺序，则变为3-（gi+%） + g血-鱼,.由此可见，当务,由时，交换前两人的派 出顺序可减小均值.

（ii）也可将（ii）中所求的ex改写为IfqiTz+q血,或交换后两人的派出顺序， 则变为3一2劣一务+务务.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当q」> 疆时，交换 后两人的派出顺序也可减小均值 .

综合（i） （ii）可知，当 如色必）=31，力庭） 时，EX达到最小.即完成任务概率大的 人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的 ^

安徽文

（9）从正六边形的6个顶点中随机选 择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率 等于

L ! I 1

（A） 10 （B） 8 （C） 6 （D） 5

（9） D【命题意图】本题考查古典概型的概率问题 .属中等偏难题.

【解析】通过画树状图可知从正六边形的 6个顶点中随机选一择4个顶点，以它们作为顶点

的四边形共有15个，其中能构成矩形 3个，所以是矩形的概率为 15 一 5 .故选D.

（20）（本小题满分10分）

某地最近十年粮食需求量逐年上升， 下表是部分统计数据：

年份

2002

2004

2006

2008

2010

需求量（万 吨）

236

246

257

276

286

（I）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 y = bx+a；

（口）利用（I）中所求出的直线方程预测该地 2012年的粮食需求量。

温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明 ^

（20）（本小题满分10分）本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，回归直线的意义 和求法，数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力

解：（I）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线 方程，为此对数据预处理如下：

年份一2006

-4

-2

0

2

4

需求量一257

一21

一11

0

19

29

对预处理后的数据，容易算得

工=0,刀=3.2,

（一4）乂（一21） +（-2）x（- 11）+2x19 + 4x29 260 『匚

TOC \o "1-5" \h \z Q = = = 0 J

_ _ 妒+2" 2’+4〉 40 '

a -y-b'K- 3.2

由上述计算结果，知所求回归直线方程为

；? 257 =怡-2006） = 65（" 2006） + 32

即 > = 6.53 - 2006）+2602 ①

（II）利用直线方程①，可预测 2012年的粮食需求量为

6.5（2012-2006）+260.2= 6.5x6+260.2二 299.2 （万吨）.300（万吨）.

北京理

12.用数字2, 3组成四位数，且数字 2, 3至少都出现一次，这样的四位数共有 个（用

数字作答）

【解析】个数为2*-2 = 14o

17.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无 法确认，在图中以 X表示。

甲组9 9 0

甲组

9 9 0

1 1 1

乙组

X 8 9

0

(1)如果 】=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差;

(2)如果X 我，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数 Y

的分布列和数学期望。

(注:方差号血Z+扇一心…+&一矿，其中Ei,也 均数)

(17)(共 13 分)

解(1)当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是： 8, 8, 9, 10,

所以平均数为

? 8 + 8+9 + 10 35

TOC \o "1-5" \h \z 上二 =—r

4 4

方差为

\o "Current Document" 『二如-尹+(时％+(9-尹+(10-凯二§ 4 4 4 4 4 16

(n)当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是： 9, 9, 11, 11;乙组

同学的植树棵数是：9, 8, 9,10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有

4>4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数 Y的可能取值为17, 18, 19, 20,

21事件“丫=17等价于 甲组选出的同学植树 9棵，乙组选出的同学植树 8棵”所以

2 _ 1

该事件有2种可能的结果，因此 P (Y=17 ) =16 8

同理可得PE沪*5)彳*2。)二水"21)4

所以随机变量Y的分布列为:

Y

17

18

19

20

21

P

I 8

2

4

2

4

2

4

I

EY=17XP (Y=17 ) +18 >P (Y=18) +19 XP (Y=19 ) +20 XP (Y=20 ) +21 XP (Y=21 )

11111

=17 x8 +18 x4 +19 x4 +20 x4 +21 x3

=19

北京文

7.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800元.若每批生产x件，则平均仓储

X

时间为8天，且每件产品每天的仓储费用为 1元.为使平均没见产品的生产准备费用与

仓储费用之和最小，每批应生产产品 B

A . 60 件 B . 80 件 C. 100 件 D . 120 件

16.（本小题共 13分）

以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树 .乙组记录中有一个数据模糊，无

法确认，在图中以 X表示.

甲狙 乙组

g q o x g g

i i

（1） 如果X=8 ,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（2） 如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数 为19的概率.

5’ = 1［（了1 一了沪 +（砌 _*）' + —（% — I）'］， ' 岳 L ■■- I

（注：万差 月 其中［为M仲的平均

数）

（16）（共 13 分）

解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是： 8, 8, 9, 10,

所以平均数为

? 8 + 8+9 + 10 35

44’ 方 差 为

（口）记甲组四名同学为 A1 , A2, A3, A4,他们植树的棵数依次为 9, 9, 11, 11;乙组四名同学为 B1, B2 , B3, B4,他们植树的棵数依次为 9, 8, 9, 10,分别 从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有 16个，它们是：

(A1,

B1),

(

A1, B2),

(A1,

B3),

(A1,

B4),

(A2,

B1),

(

A2, B2),

(A2,

B3),

(A2,

B4),

(A3,

B1),

(

A2, B2),

(A3,

B3),

（A〔，

B4),

甫A4表泉？，祁伽两皆向学偷徊总B果奴为（A419'牧、事件，则C中白舅毕 4与 它 们是：（A〔，B4） , （A?, B4） , （A3, B2）, （A4, B2）,故所求概率为 '

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