微专题圆锥曲线几何条件处理策略

　微专题圆锥曲线几何条件的处理策略 圆锥曲线处理心法：

　一、几何条件巧处理，事半功倍！

　二、谋定思路而后动，胸有成竹！

　三、代数求解不失分，稳操胜券！

　四、解后反思收货大，触类旁通

　！

　1. 平行四边形处理策略

　例 例 1. （2015 ，新课标 2 理科 20）

　）

　已知椭圆2 2 2:9 ( 0) C x y m m    , 直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A ， B ，线段 AB 的中点为 M ．

　 ( Ⅰ) 证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值； （ Ⅱ ）若 l 过点 ( , )3mm ，延长线段 OM 与 C 交于点 P ，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时 l 的斜率，若不能，说明理由． 【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能， 4 7  或 4 7  ． 【解析】试题分析：(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点 , A B 的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦 AB 的中点和直线 l 的斜率；设直线 l 的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦 AB 的中点，并寻找两条直线斜率关系；（Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线 OM 方程并与椭圆方程联立，求得 M 坐标，利用 2P Mx x  以及直线 l 过点 ( , )3mm 列方程求 k 的值． 试题解析：(Ⅰ)设直线 : l y kx b   ( 0, 0) k b   ，1 1( , ) A x y ，2 2( , ) B x y ， ( , )M MM x y ． 将 y kx b   代入2 2 29x y m   得2 2 2 2( 9) 2 0 k x kbx b m      ，故1 222 9Mx x kbxk  ， 299M Mby kx bk  ．于是直线 OM 的斜率9MOMMykx k   ，即 9OMk k    ．所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形 OAPB 能为平行四边形． 因为直线 l 过点 ( , )3mm ，所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 0 k  ， 3 k  ． 由 (Ⅰ) 得 OM 的 方 程 为9y xk  ． 设 点 P 的 横 坐 标 为Px ． 由2 2 29,9 ,y xkx y m  得2 2229 81Pk mxk， 即23 9Pkmxk．将点 ( , )3mm 的坐标代入直线 l 的方程得(3 )3m kb ，因此2( 3)3( 9)Mmk kxk．四边形 OAPB 为几何性质 代数实现 对边平行 斜率相等，或向量平行 对边相等 长度相等，横（纵）坐标差相等 对角线互相平分 中点重合

　平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 2P Mx x  ．于是23 9kmk 2( 3)23( 9)mk kk．解得14 7 k   ，24 7 k   ．因为 0, 3i ik k   ， 1 i  ， 2 ，所以当 l 的斜率为 4 7  或 4 7  时，四边形 OAPB 为平行四边形． 考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系． 2. 直角三角形处理策略

　 例 例 2. 椭圆2 22 21x ya b  （ 0 a b   ）

　的离心率为32，长轴端点与短轴端点间的距离为 5 ，

　（1 1 ）求椭圆的方程；2214xy  

　 （2 2 ）过点 (0,4) D 的直线 l 与椭圆 C 交于两点 , E F ， O 为坐标原点，若 OEF  为 直角三角形 ，求直线 l 的斜率

　解析：（2 2 ）根据题意，过点 (0,4) D 满足题意的直线斜率存在，设 : 4 l y kx   ，联立 22414y k**y   消去 y 得2 2(1 4 ) 32 60 0 k x kx     ， 2 2 2(32 ) 240(1 4 ) 64 240 k k k      

　 令 0   ，解得2154k  。

　设 , E F 两点的坐标分别为1 1( , ) x y ，2 2( , ) x y ，则1 22321 4kx xk  ，1 22601 4x xk （1）当 EOF  为直角时，

　所以 0 OE OF   ，即1 2 1 20 x x y y   ，所以21 2 1 2(1 ) 4 ( ) 16 0 k x x k x x     

　所以2 22 215(1 ) 324 01 4 1 4k kk k   ，解得 19 k  

　（2）当 OEF  或 OFE  为直角时，不妨设 OEF  为直角，此时 1OEk k    ，所以1 11 141y yx x  

　即2 21 1 14 x y y   ①又221114xy   ②，将①代入②，消去1x 得21 13 4 4 0 y y    ，解得123y  或12 y   （舍去）

　几何性质 代数实现 （1）两边垂直 斜率乘积为-1，或向量数量积为 0 （2）勾股定理 两点的距离公式 （3）斜边中线性质（中线等于斜边一半）

　两点的距离公式

　将123y  代入①得1253x   ，所以1145ykx   ，经检验所得 k 值均符合题意， 综上， k 的值为 19 k   和 5 k  

　3. 等腰三角形处理策略

　 例 例 3. 在直角坐标系 xOy 中，已知点 ( 2,0), ( 2,0) A B  , E 为动点，且直线 EA 与直线 EB 斜率之积为12 ，

　（1 1 ）求动点 E 的轨迹 C 方程；

　（2 2 ）设过点 F(1,0) 的直线 l 与椭圆 C 交于两点 , M N , 若点 P 在 y 轴上，且 | | | | PM PN  ，求点 P 的纵坐标的范 围

　 解析：（1）设动点 E 的坐标为 ( , ) x y ，依题意可知12 2 2y yx x   整理得221( 2)2xy x     ， 所以动点 E 的轨迹 C 的方程为221( 2)2xy x    

　（2）当直线 l 的斜率不存在时，满足条件的点 P 的纵坐标为 0， 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ( 1) y k x   ，将 ( 1) y k x   代入2212xy   ， 并整理得，2 2 2 2(2 1) 4 2 2 0 k x k x k      ，28 8 0 k    

　设1 1( , ) M x y ，2 2N( , ) x y ，则21 2242 1kx xk ，1 2222 1x xk 设 MN 的中点为 Q ，则2222 1Qkxk，2( 1)2 1Q Qky k xk   ，所以22 22( , )2 1 2 1k kQk k ， 几何性质 代数实现 （1）两边相等 两点的距离公式 （2）两角相等 底边水平或竖直时，两腰斜率相反 （3）三线合一（垂直且平分）

　垂直：斜率或向量

　 平分：中点坐标公式

　由题意可知 0 k  ，又直线 MN 的垂直平分线的方程为22 21 2(x )2 1 2 1k kyk k k    ， 令 0 x  解得2112 12Pkykkk ，当 0 k  时，因为12 2 2 kk  ，所以1 204 2 2Py   

　当 0 k  时，因为12 2 2 kk   ，所以1 204 2 2Py      ，综上所述，点 P 的纵坐标的范围是2 2[ , ]4 4 .

　 4. 菱形的处理策略

　例 4.椭圆 M：2 22 21x ya b  （ 0 a b   ）

　过点 (0, 1)  ，且离心率为63e 

　（1）求椭圆 M 的方程； （2）是否存在菱形 ABCD ，同时满足以下三个条件：

　①点 A 在直线 2 y  上 ；

　②点 , , B C D 在椭圆 M 上 ； ③直线 BD 的斜率等于 1； 如果存在，求出点 A 的坐标，如果不存在，说明理由。

　解析：（1）由题意得2 2 2163bcaa b c   解得23 a  ，21 b  ；所以椭圆 M 的方程为2213xy  

　（2）不存在满足题意的菱形 ABCD ，理由如下：

　假设存在满足题意的菱形 ABCD ，设直线 BD 的方程为 y x m   ，且1 1( , ) B x y ，2 2D( , ) x y ， 线段的中点0 0Q( , ) x y ， A(t,2) ，则由2 23 3 x yy x m   可得2 24 2 3 0 y my m     ，由2 2(2 ) 16( 3) 0 m m     可得 2 2 m    ，又1 22my y   ，所以1 202 4y y my  ， 若四边形 ABCD 为菱形，则 Q 是 AC 的中点， C 点的纵坐标0y 2 2 2 12cmy       ， 又因为点 C 在椭圆上，所以 y 1c 与 y 1c  矛盾，故 不存在满足题意的菱形 ABCD 。

　 5. 圆的处理策略

　例 5.已知椭圆2 2: 14 3x yM   ，点1F ， C 分别是椭圆 M 的左焦点、左顶点，过点1F 的直线 l （不与 x 轴重合）交 M 于 , A B 两点， （1）求 M 的离心率及短轴长； （2）是否存在直线 l ，使得点 B 在以线段 AC 为直径的圆上，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由.

　（1）由2 214 3x y  得 2, 3 a b   ，所以 M 的离心率为12， 短轴长为 2 3 ； （2）方法一：由题意知 ( 2,0) C  ，1 ( 1,0)F  设0 0 0( , )( 2 2) B x y x    ，则2 20 014 3x y  ， 因为1 0 0 0 0( 1 , ) ( 2 , ) BF BC x y x y         2 2 20 0 0 0 012 3 3 5 04x x y x x        

　所以 (0, )2B  ，所以点 B 不在以 AC 为直径的圆上，即不存在直线 l ，使得点 B 在以 线段 AC 为直径的圆上。

　方法二、由题意可设直线的方程为 1 x my   ，1 1( , ) A x y ，2 2( , ) B x y

　由2 214 31x yx my   

　可得2 2(3 4) 6 9 0 m y my    

　所以1 2263 4my ym ，1 2293 4y ym 所以1 1 2 2( 2, ) ( 2, ) CA CB x y x y     21 2 1 2( 1) ( ) 1 m y y m y y     22 29 6( 1) 13 4 3 4mm mm m     2503 4 m ，因为 cos ( 1,0)| |CA CBCCA CB  所以 ( , )2C   ，所以 ( , )2B   ，所以点 B 不在以 AC 为直径的圆上，即不存在直线 l ，使得点 B 在以 线段 AC 为直径的圆上。

　 6. 角的处理策略

　 几何性质 代数实现 （1）点在圆上 点与直径端点向量数量积为零 （2）点在圆外 点与直径端点向量数量积为正数 （3）点在圆内 点与直径端点向量数量积为负数 几何性质 代数实现 （1）锐角，直角，钝角 角的余弦（向量数量积）的符号 （2）倍角，半角，平分角 角平分线性质，定理（夹角到角公式）

　（3）等角（相等或相似）

　比例线段或斜率

　例 例 6. 【2013. 山东，理科 22 】

　椭圆 C ：

　 2 22 21 0x ya ba b    的左、右焦点分别是1 2, F F ，离心率为23，过1F且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1 。

　（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （2214xy   ）

　（Ⅱ）点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的 任一点，连接1 2, PF PF ，设1 2FPF  的角平分线 PM 交 C 的长轴于点  ,0 M m，求 m 的取值范围；3 32 2m   

　解析：（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知1 (3,0) F  ，2 ( 3,0)F 则1| | 3 MF m   ，2| | 3 MF m   ， 由椭圆定义得1 2| | | | 4 PF PF   ，12 3 | | 2 3 PF    

　 因为 PM 平分1 2FPF  ，

　所以1 12 2| | | | 3| | | | 3PF MF mPF MF m ，则11 2| | 3| | | | 3 3PF mPF PF m m   ，所以13 2( 3 )| | 42 3 3m mPF   

　所以2( 3 )2 3 2 33m     ，即3 32 2m   

　法二：由题意可知，1 21 2| || | | || |PF PM PF PMPF PM PF PM  ，即1 21 2| | | |PF PM PF PMPF PF  ， 设0 0P( , ) x y ,其中204 x  ，将向量坐标代入并化简得2 30 0 0m(4 16) 3 12 x x x    ，因为204 x  ，所以03m4x 

　而0( 2,2) x   ，所以3 3( , )2 2m 

　【跟踪变式训练】

　1.【 转化为 平行的处理】

　【2016 高考新课标 3 理数】已知抛物线 C ：22 y x  的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线1 2, l l 分别交 C 于 , A B 两点，交 C 的准线于 P Q ， 两点． （I）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR FQ ； （II）若 PQF  的面积是 ABF  的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21 y x   ．

　 （Ⅱ）设 l 与 x 轴的交点为 ) 0 , (1x D ，则2,2121211b aS x a b FD a b SPQF ABF      . 由题设可得2 21211b ax a b   ，所以 01 x （舍去）， 11 x .

　 设满足条件的 AB 的中点为 ) , ( y x E . 当 AB 与 x 轴不垂直时，由DE ABk k  可得 ) 1 (12**yb a.而 yb a2，所以 ) 1 ( 12   x x y . 当 AB 与 x 轴垂直时， E 与 D 重合，所以，所求轨迹方程为 12  x y .

　 ....12 分[来

　2.【转化为等腰三角形处理】【2016 高考浙江理数】（本题满分 15 分）如图，设椭圆2221xya  （a＞1）. （I）求直线 y=kx+1 被椭圆截得的线段长（用 a、k 表示）； （II）若任意以点 A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值 范围.

　【答案】（I）222 2211a kka k ；（II）202e   ． 【解析】

　（Ⅰ）设直线 1 y kx   被椭圆截得的线段为 AP ，由22211y k**ya   得 2 2 2 21 2 0 a k x a kx    ， 故10 x  ，222 221a kxa k ． 因此22 21 22 221 11a kAP k x x ka k     ．

　（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有 4 个，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P ， Q ，满足 AP AQ  ．

　记直线 AP ， AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20 k  ，1 2k k  ．

　由（Ⅰ）知，2 21 12 212 11a k kAPa k，2 22 22 222 11a k kAQa k，故2 2 2 21 1 2 22 2 2 21 22 1 2 11 1a k k a k ka k a k  ， 所以    2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 21 2 0 k k k k a a k k       ． 由于1 2k k  ，1k ，20 k  得 2 2 2 2 2 21 2 1 21 2 0 k k a a k k      ，因此2 22 21 21 1( 1)( 1) 1 ( 2) a ak k     ，

　① 因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是2 21 ( 2) 1 a a    ，所以 2 a  ． 因此，任意以点   0,1 A 为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 1 2 a   ， 由21 c aea a  得，所求离心率的取值范围为202e   ． 3【转化为等腰三角形处理】【2015 江苏高考，18】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 错误! 未找到引用源。的离心率为 错误!。

　未找到引用源。，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3.

　 （1）求椭圆的标准方程；

　 （2）过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于

　点 P，C，若 PC=2AB，求直线 AB 的方程.

　【答案】（1）

　错误!。

　未找到引用源。（2）

　错误! 未找到引用源。或 错误!。

　未找到引用源。． 【解析】试题分析（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为 错误!。

　未找到引用源。，二是右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3，解方程组即得（2）因为直线 AB 过 F，所以求直线 AB 的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据 PC=2AB 列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出AB 两点坐标，利用两点间距离公式求出 AB 长，再根据中点坐标公式求出 C 点坐标，利用两直线交点求出 P 点坐标，再根据两点间距离公式求出 PC 长，利用 PC=2AB 解出直线 AB 斜率,写出直线 AB 方程. 试题解析：（1）由题意，得 错误! 未找到引用源。且 错误!。

　未找到引用源。，解得 错误!。

　未找到引用源。， 错误! 未找到。

　引用源。，则 错误!。

　未找到引用源。， 所以椭圆的标准方程为 错误!。

　未找到引用源。． （2）当 错误! 未找到引用源。轴时， 错误!。

　未找到引用源。，又 错误!。

　未找到引用源。，不合题意． 当 错误! 未找到引用源。与 错误! 未找到引用源。轴不垂直时，设直线 错误! 未找到引用源。的方程为 错误! 未找到引

　。

　用源。， 错误!。

　未找到引用源。， 错误!。

　未找到引用源。， 将 错误! 未找到引用源。的方程代入椭圆方程，得 错误!。

　未找到引用源。， 则 错误!。

　未找到引用源。， 错误! 未找到引用源。的坐标为 错误!。

　未找到引用源。，且 错误!。

　未找到引用源。． 若 错误!。

　未找到引用源。，则线段 错误! 未找到引用源。的垂直平分线为 错误! 未找到引用源。轴，与左准线平行，不合题意． 从而 错误!。

　未找到引用源。，故直线 错误! 未找到引用源。的方程为 错误!。

　未找到引用源。， 则 错误! 未找到引用源。点的坐标为 错误!。

　未找到引用源。，从而 错误!。

　未找到引用源。． 因为 错误!。

　未找到引用源。，所以 错误!。

　未找到引用源。，解得 错误!。

　未找到引用源。． 此时直线 错误! 未找到引用源。方程为 错误! 未找到引用源。或 错误!。

　未找到引用源。． 【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系 4【圆的处理】.设 O 为坐标原点，已知椭圆  2 212 2: 1 0x yC a ba b    的离心率为32，抛物线22 :C x ay   的准线方程为12y  ．（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）设过定点   0,2 M 的直线 t 与椭圆1C 交于不同的两点, P Q ，若 O 在以 PQ 为直径的圆的外部，求直线 t 的斜率 k 的取值范围． 【答案】（1）22 x y   ，2214xy   ；（2）3 32, ,22 2k              .

　试题解析：

　（1）由题意得14 2a ，∴ 2 a  ，故抛物线2C 的方程为22 x y   ，又32e  ，∴ 3 c  ，∴ 1 b ，从而椭圆1C 的方程为2214xy   ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 分 （2）显然直线 0 x  不满足题设条件，可设直线    1 1 2 2: 2, , , , l y kx P x y Q x y   ．

　由22142xyy kx   ，得 2 21 4 16 12 0 k x kx     ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 分 ∵   2216 4 12 1 4 0 k k       ，∴3 3, ,2 2k               ，．．．．．．．．．．．．．．．9 分 1 2 1 22 216 12,1 4 1 4kx x x xk k   ， 根据题意，得0 00 90 0 POQ OP OQ      ，∴       21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2222 2 22 2 1 2 412 116 16 42 4 01 4 1 4 1 4OP OQ x x y y x x kx kx k x x k x xkk kkk k k                  ．．．．11 分 ∴ 2 2 k    ，综上得3 32, ,22 2k              ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分 考点：直线与圆锥曲线位置关系． 5【角的处理】【2016 高考天津理数】（本小题满分 14 分）设椭圆 13222 yax（ 3  a ）的右焦点为 F ，右顶点为 A ，已知| |3| |1| |1FAeOA OF  ，其中 O

　为原点， e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B （ B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 M ，与 y 轴交于点 H ，若HF BF  ，且 MOA MAO   ，求直线的 l 斜率的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2 214 3x y  （Ⅱ）

　) ,46[ ]46, (    

　【解析】（Ⅰ）解：设 ( ,0) F c ，由1 1 3| | | | | |eOF OA FA  ，即1 1 3( )cc a a a c ，可得2 2 23 a c c   ，又2 2 23 a c b    ，所以21 c  ，因此24 a  ，所以椭圆的方程为2 214 3x y  . （Ⅱ）解：设直线 l 的斜率为 k （ 0  k ），则直线 l 的方程为 ) 2 (   x k y . 设 ) , (B By x B ，由方程组  ) 2 (13 42 2x k yy x，消去 y ，整理得 0 12 16 16 ) 3 4 (2 2 2 2     k x k x k . 解得 2  x ，或3 46 822kkx ，由题意得3 46 822kkx B ，从而3 4122kky B .

　由（Ⅰ）知， ) 0 , 1 ( F ，设 ) , 0 (Hy H ，有 FH ( 1, )Hy   ，22 29 4 12( , )4 3 4 3k kBFk k . 由 HF BF  ，得 0 BF HF   ，所以22 212 4 904 3 4 3Hky kk k  ，解得kky H124 92 . 因此直线 MH 的方程为kkxky124 9 12   .设 ) , (M My x M ，由方程组   ) 2 (124 9 12x k ykkxky消去 y ， 解得) 1 ( 129 2022kkx M .

　在 MAO △ 中， | | | | MO MA MAO MOA      ，即2 2 2 2) 2 (M M M My x y x     ， 化简得 1 Mx ，即 1) 1 ( 129 2022kk，解得46  k 或46 k .所以，直线 l 的斜率的取值范围为) ,46[ ]46, (     .

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