考点3统计与统计案例题型3变量间相关关系、统计案例x_

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2010-2015 年高考真题汇编

专题13 概率与统计

考点3统计与统计案例

题型3变量间的相关关系、统计案例

1.（ 2015年福建4，5分）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系 ，随机调查了该 社区5户家庭，得到如下统计数据表

收入X（万元）

8.2

8.6

10.0

11.3

11.9

收入y（万元）

6.2

7.5

8.0

8.5

9.8

根据上表可得回归本线方程 ？ = a?,其中？ = o.76,a?= y-bX，据此估计，该社区一户

收入为15万元家庭年支出为 （ ）

A. 11.4万元 B. 11.8万元 C. 12.0万元 D. 12.2万元

2. （2015年全国卷一 19 , 12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费 ，需了解年

宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润（单位：千元）的影响，对近 8年的年宣传费 洛和年销售量％ i =1,2,111,8数据作了初步处理，得到下面的散点图及一 些统计量的值，

2000806

2000806

6 6 5 540200080

5 5 5 4

34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56

年負传费/千元

专业资料可编

x

y

W

n 2

送（x

i 1

n 2

送（Wi +W ）

i -4

n

送（x yT ）

n

送（W +W）（ yi —y ）

i4

46.6

56

3

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

_ 1 n

表中 Wi = ? Xi , w wi。

8 i-i

（I）根据散点图判断，y二a'bx与y二c，d\X哪一个适宜作为年销售量 y关于年宣传

费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（H）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（川）已知这种产品的年利润 z与X, y的关系为z=0.2y -X ,根据（n）的结果回答下列

问题；

（i） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少 ？

（ii） 年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据 u^w , u2,v2 JH, un,vn ,其回归直线v^ '■的余率和减距的最小

二乘估计分别为

n

送（5 —U W 一 V ）

J J ,?=v-?u。

' 比-u 2

i

.（ 2014重庆，5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数 x = 3, y

TOC \o "1-5" \h \z =3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能为 （ ）

A A

A.y = 0.4x+ 2.3 B.y = 2x — 2.4

A A

C.y = — 2x+ 9.5 D.y = — 0.3x + 4.4

. （ 2014湖北，5分）根据如下样本数据

专业资料可编

x

3

4

5

6

7

8

y

4.0

2.5

-0.5

0.5

-2.0

-3.0

得到的回归方程为y = bx + a,则（ ）

A. a>0 , b>0 B. a>0 , b<0

C. a<0 , b>0 D . a<0, b<0

.（ 2014新课标全国卷n, 12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入 y（单位： 千元）的数据如下表：

年份

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

年份代号t

1

2

3

4

5

6

7

人均纯收入y

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9

（1）求y关于t的线性回归方程；

⑵利用⑴中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变

化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

n _

送 ti- t %- y

TOC \o "1-5" \h \z i= 1 — _

A A A

b = , a = y - b t

\o "Current Document" n _

\o "Current Document" ' ti-1 2

i= 1

. （ 2014江西，5分）某人研究中学生的性别与成绩 、视力、智商、阅读量这4个变量的

关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的

变量是（ ）

专业资料可编

'■性别、..__

男

6

14

20

女

10

22

32

总计

16

36

52

表2

\ 视力

性别'、、

好

差

总计

男

4

16

20

女

12

20

32

总计

16

36

52

表3

\ 智商 性别、\

偏咼

正常

总计

男

8

12

20

女

8

24

32

总计

16

36

52

表4

\阅读量 性别、\

丰富

不丰富

总计

男

14

6

20

女

2

30

32

总计

16

36

52

专业资料可编

辑

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720.辑

720.

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A ?成绩

A ?成绩

B.视力

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 勺=bx+a,若某同学根据上表中的前两组

数据（1,0）和（2,2）求得的直线方程为 y = b'x+ a则以下结论正确的是（ ）

A.b>b ',a>a' B.b>b',a<a'

C.b<b ',a>a' D.b<b',a<a'

8 . （ 2013湖北，5分）四名同学根据各自的样本数据研究变量 x, y之间的相关关系，并求

得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

y与x负相关且y = 2.347 x- 6.423 ;

y与x负相关且y = - 3.476 x + 5.648 ;

y与x正相关且y = 5.437 x+ 8.493 ;

y与x正相关且y = -4.326 x — 4.578 :

其中一定不正确的结论的序号是 （ ）

B.②③

B.②③

D.①④

10个家庭，获得第i个家庭的月收入Xi（单位:

C .③④

（2013重庆，13分）从某居民区随机抽取

10 10 10 10 千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得匸1xi = 80,匸1yi = 20，日細=184，匸1x2 =

（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y= bx+ a；

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⑵判断变量X与y之间是正相关还是负相关；

⑶若该居民区某家庭月收入为 7千元，预测该家庭的月储蓄

n _ _

匸 1Xiyi_ nx _ _ _ _ _

附：线性回归方程y= bx + a中，b = ; , a= y — b亍,其中殳,_y为样本

2 — 2

匸 1Xi — n x

平均值，线性回归方程也可写为

y = bx + a.

（ 2013福建，12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人

200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关 ，现采用分层抽样的方法，从中抽取了

100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数 ，然后按工人年龄在 “ 25周岁以上 洽25

周岁）'和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成 5组：［50,60）,

[60,70) , [70,80),（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取 2人，求至少抽到一名 “ 2周岁以下组”工人的概率；（2）规定日平均生产件数不少于80件者为 生产能手”，请你根据已知条件完成 2

[60,70) , [70,80),

（1）从样本中日平均生产件数不足

60件的工人中随机抽取 2人，求至少抽到一名 “ 2周

岁以下组”工人的概率；

（2）规定日平均生产件数不少于

80件者为 生产能手”，请你根据已知条件完成 2 X2列联

表，并判断是否有90%的把握认为

P(x*)

0.100

0.050

0.010

0.001

k

2.706

3.841

6.635

10.828

生产能手与工人所在的年龄组有关

n nn n22 — n12n21

“1 + 门2+ n + 1“ + 2

2

附:

2 A

n ad — be

注：此公式也可以写成K2=

、一 a+ b e + d a+ e b+ d /

11 .（ 2012湖南，5分）设某大学的女生体重 y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关

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关系，根据一组样本数据（xi, y）（i= 1,2，…，n）,用最小二乘法建立的回归方程为 勺=0.85X

—85.71，则下列结论中不正确的是 （ ）

A ? y与x具有正的线性相关关系

B ?回归直线过样本点的中心 （x , y）

C ?若该大学某女生身高增加 1 cm ,则其体重约增加0.85 kg

D ?若该大学某女生身高为 170 cm ,则可断定其体重必为 58.79 kg

? （ 2011山东，5分）某产品的广告费用 x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x（万元）

4

2

3

5

销售额y （万兀）

49

26

39

54

根据上表可得回归方程 勺=bx+ a中的b为9.4,据此模型预报广告费用为 6万元时销售

额为（ ）

B. 65.5万元D.

B. 65.5万元

D. 72.0万元

C ? 67.7万元

? （ 2011 陕西，5 分）设（* , y） （X2, y2）,…，（Xn, yn）是变量 x 和 y

的n个样本点，直线I是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直

线（如图）,以下结论中正确的是（ ）

A ? x和y的相关系数为直线l的斜率

B ? x和y的相关系数在0至U 1之间

C?当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

D ?直线l过点（x , y ）

? （ 2011辽宁，5分）调查了某地若干户家庭的年收入 x（单位：万元）和年饮食支出y（单 位：万元）,调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到 y对x

的回归直线方程：y = 0.254X+ 0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加 1万元，年

饮食支出平均增加 万元?

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