[最优控制实验报告..x]

实验报告

课程名称：

现代控制工程与理论

实验课题：

最优控制

学 号:

12014001070

姓 名：

陈龙

授课老师：

施心陵

最优控制

一、 最优控制理论中心问题：

给定一个控制系统（已建立的被控对象的数学模型），选择一 个容许的控制律，使被控对象按预定要求运行，并使给定的某一性能 指标达到极小值（或极大值）

二、 最优控制动态规划法

对离散型控制系统更为有效，而且得出的是综合控制函数。这种 方法来源于多决策过程，并由贝尔曼首先提出，故称贝尔曼动态规划。

最优性原理：在一个多级决策问题中的最优决策具有这样的性 质，不管初始级、初始状态和初始决策是什么，当把其中任何一级和 状态做为初始级和初始状态时，余下的决策对此仍是最优决策

三、 线性二次型性能指标的最优控制

用最大值原理求最优控制，求出的最优控制通常是时间的函数， 这样的控制为开环控制当用开环控制时， 在控制过程中不允许有任何 干扰，这样才能使系统以最优状态运行。在实际问题中，干扰不可能 没有，因此工程上总希望应用闭环控制，即控制函数表示成时间和状 态的函数。

求解这样的问题一般来说是很困难的。

　但对一类线性的且指标是 二次型的动态系统，却得了完全的解决。不但理论比较完善，数学处 理简单，而且在工际中又容易实现，因而在工程中有着广泛的应用。

实验目的

熟悉Matlab的仿真及运行环境；

掌握系统最优控制的设计方法；

验证最优控制的效果。

实验原理

对于一个给定的系统，实现系统的稳定有很多途径，所以 我们需要一个评价的指标，使系统在该指标下达到最优。如果 给定指标为线性二次型，那么我们就可以利用 MATLAB快速的

计算卡尔曼增益。

实验器材

PC机一台，Matlab仿真平台。

实验步骤

例题1 (P269)考虑液压激振系统简化后的传递函数方框图如 下，其中Ka为系统前馈增益，Kf为系统反馈增益，Wh为阻尼固 有频率。(如图5-5所示)

将系统传递函数变为状态方程的形式如下：

确定二次型指标为：丨—「id」】.求最

2 u

优控制使性能指标J最小

首先将…l (t)代入二次型指标，得到

J = ^^]xT(t)CTMCx(t) + ur/?u(t)]dt

1 fr

=-I [zT(t)Qx(t) + nrfet(t)]cft

L丿o

进行系统辨识后可以得到：Z =0.2, Wh=88, Ka=2,所以

;15488]

;15488]

0

A= 0

_0

1 o

0 1 ,

—7744 — 35,2.

叩0 0]

设计线性二次型最优控制器的关键是选择加权矩阵 Q。一般来说，Q

越大，系统达到的稳态时间越短，当然，要实际的系统允许。

[5

0

01

首先选取M=5, R=0.01,贝SQ =

0

0

0

,在 MATLAB

lo

0

oJ

中运用care语句，求出卡尔曼增益K。

执行optimumcontronl.m 程序，代码如下:

A=[0 1 0;0 0 1;0 -7744 -35.2];

B=[0;0;15488];

C=[1 0 0];

Q=[5 0 0;0 0 0; 0 0 0]

R=0.01;

[PL,K]=care(A,B,Q,R)

得到结果

K = 22.3607 0.2100 0.0034

为了看到控制效果，我们进行 simuli nk仿真，搭建平台如下图

隸岂1 Gsinl Kj

图1.1

仿真结果如下:

孚自P P P昨逼田匣鈕榨

Tlnw OflM-

Tlnw OflM- q

图1.2最优控制曲线(M=5)& B Q

图1.2最优控制曲线(M=5)

& B Q倉炉越園冈I曰鼻垢

由图看出，系统达到稳定所用时间要 0.14秒，如果我们

K=1000.0101想更快使系统稳定可以增大 M的值，我们另M=100,可以算出

K=100.0000

1530 0.0101

图1.4最优控制曲线（M=100）

H^S2

图1.5阶跃响应曲线（M=100）

从图1.4,可以观察看到系统到0.1秒稳定，明显快于图1.2。

　但从图1.5又可以发现，系统的稳态定在 0.01，显然稳态误差 并没有得到改善。

可以通过增大参考输入的方法解决稳态误差的问题， MATLAB

提供函数rscale可以求出参考输入倍数 Nbar。

添加代码 Nbar二rscale（A,B,C,D,K）当 M=100 时求出

Nbar=100,在信号输入端添加放大器，得到实验结果如下：

我们发现系统稳定到了 1.00,稳态误差问题得到了解决

状态反馈设计

练习：极点配置法状态控制器和最优控制设计状态控制器效果分析 假设某系统的传递函数为匚三=10/^-+5- +6s ）希望该系统极点 在 s仁-0.5+j,s2=-0.5-j,s3=-3.

极点配置法设计过程

搭建原系统的simulink模型并观察其单位阶跃响应

Gain

图2.0原系统simulink模型

14

12

10

8

6

2

0

2

G

10

8

Time offset: 0

回

i d

fl

图2.1原系统单位阶跃响应

由原系统单位阶跃响应图可知原系统不稳定

利用matlab计算系统的状态空间模型的标准型

>> a=[10];

>> b=[1 5 6 0];

>> [A B C D]=tf2ss(a,b)

-6-5

-6

图

图2.2加入反馈控制器后系统的 simulink模型

1 0 0

0 1 0

B =

1

0

0

C =

0 0 10

D =

0

系统能控性矩阵

>> uc=ctrb(A,B)

uc =

TOC \o "1-5" \h \z 1 -5 19

0 1 -5

0 0 1

>> rank(uc)

ans =

3

所以系统完全能控。

系统能观性矩阵

>> vo=obsv(A,C)

VO =

0 0 10

0 10 0

10 0 0

>> ran k(vo)

ans =

3

所以系统完全能观。所以可以用极点配置法设计状态反馈控制器。

求系统反馈矩阵

>> p=[-3 -0.5+j -0.5-j];

>> k=acker(A,B,p)

k =

-1.0000 -1.7500 3.7500

搭建加入反馈控制器系统后的simulink模型

Gain 5

%

图2.3加入反馈控制器后系统的单位阶跃响应

综上可知，希望极点在S平面的左半平面，所以由此求出的反馈 矩阵K能够使不稳定的系统变得稳定，达到了实验前的预期效果。

　最优控制法设计过程

1 ?将系统传递函数变为状态方程的形式如下：

r；=^ux(o)=o

确定二次型指标为：-■ . :求最优控

2 u

制使性能指标J最小。

首先将l?：(t)代入二次型指标，得到

| =-(r[xr(tXTMCx(t) +

2 u

12计算后可以得到：0 1A= 0 0.0 — 601

-5.

1

2

计算后可以得到：

0 1

A= 0 0

.0 — 6

0

1

-5.

B=H[,

C=

D=0

5 0

2.选取 M=100, R=1,则(2= 0 0

卫 0

0

0 ,在 MATLAB 中

0

运用care语句，求出卡尔曼增益

K和参考输入放大倍数Nbar

执行optimumcontronl.m 程序，代码如下:

A=[0 1 0;0 0 1;-1 -5 -6];

B=[0；0；1]；

C=[1 0 0]

Q二[100 0 0;0 0 0; 0 0 0]

R=1

N二rscale(A,B,C,0,K)

[PL,K]=care(A,B,Q,R)

得到结果：K=9.0499 7.5131 1.1433 Nbar =101.0000

simulink仿真结果如下:

图2.4当M=5时，两种控制器响应曲线（红色为最优控制）

改变M的值我们可以得到更多信息

图2.5当M=50时，两种控制器响应曲线（红色为最优控制）

图2.7当M=100时，两种控制器响应曲线（红色为最优控制）

图2.6当M=200时 两种控制器效果比较

EJl ScopT

曲團蠱昭医@ A

Tme oltwl: 0-

图2.7当M=500时，两种控制器效果比较

图2.8当M=10000时，两种控制效果比较

总结：

五.实验总结

通过这次任务，基本了解了 matlab的使用方法，对最优控制有 了更加深刻的认识，并得出一下结论：

最优控制器只是给定指标下的最优，实际效果不一定好 于极点配置法设计的控制器。

比较图2.4-2.8我们可以发现加权矩阵 Q的选取会直接影响 到最优控制器的稳定时间，一般来说，Q越大，系统达到的稳态时间 越短，然而，Q过大 会产生严重振铃现象。因而设计线性二次型最 优控制器时加权矩阵Q的选取非常重要，必须根据实际情况确定。

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