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2009 学年第 2 学期 考试科目：多元统计分析

考试类型：（闭卷） 考试时间： 100 分钟

学号 姓名 年级专业

一、填空题（ 5×6=30）

1、设X ~N2( ,

),其中 X

( x1 , x2 ),

( 1, 2),

2

1

,

1

则 Cov( x1

x2 , x1

x2 )=____.

10

2、设

X i

~ N 3

( , ), i

1,L ,10,

则 W =

( X i

)( X i)

i

1

服从

_________

。

4 4 3

3、设随机向量 X x1 x2 x3 , 且协方差矩阵 4 9 2 ,

3 2 16

则它的相关矩阵

R

___________________

4、

设 X= x1

x2

x3

,

的相关系数矩阵通过因子分析分解为

1

2

1

3

3

0.934

0

0.934

0.417

0.128

R

1

0

0.417

0.894

0.835

1

0

0.894

0.027

3

0.835

0.447

0.447

2

1

0.103

0

3

X1的共性方差 h12

__________ ， X1的方差

11

__________ ，

公因子 f 1对 X的贡献 g12

________________ 。

5、设 X i , i 1,L

,16 是来自多元正态总体

N p (

, ), X 和 A分别为正态总体N p ( ,

)

的样本均值和样本离差矩阵 , 则

T 2

15[4( X

)] A

1[4( X)] ~ ___________

。

二、计算题（ 5×11=50）

16

4

2

、设

( x1 , x2 , x3) ~ N3

(

, ),

其中

(1,0, 2) ,4

4

1 ,

1X

2

1

4

试判断 x1

2 x3与 x2 x3

是否独立？

x1

2、对某地区农村的

6 名 2 周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进行测量，

得相关数据如下 , 根据以往资料 , 该地区城市 2周岁男婴的这三个指标的

均值

0

(90,58,16)

, 现欲在多元正态性的假定下检验该地区农村男婴是

否与城市男婴有相同的均值。

82.0

4.3107

14.6210

8.9464

其中 X

60.2 ,(5 S ) 1

( 115.6924)

1

14.6210

3.172

37. 3760

14.5

8.9464

37.3760

35.5936

(

0.01,

F 0.01 (3, 2)

99.2,

F 0.01 (3,3)

29.5,

F0.01 (3, 4)

16.7)

、设已知有两正态总体

G与 G，且

1

2

，

2

4

，

1

2

1

1

，

3

1

2

6

2

1

9

而其先验概率分别为

q1

q2

0.5,

误判的代价

C(2 1)

4

；

e ,C(1 2)

e

试用

判别法确定样本

X

3

属于哪一个总体？

Bayes

5

1

4、设

X

(X1,X2, X3,X4 )

T

，协方差阵

1

1

1

试从Σ出发求 X 的第一总体主成分；

试问当取多大时才能使第一主成分的贡献率达95％以上。

、设

T

,Y (Y1, X2)

T 为标准化向量，令

Z

X

,

且其协方差阵

5

X (X1,X2)

Y

100

0

0

0

11 12

V( Z)

21 22



0 1 0.95 0

0 0.95 1 0



，

0 0 0 100

求其第一对典型相关变量和它们的典型相关系数？

三、证明（ 7+8=15）

1、设随机向量 X的均值向量、协方差矩阵分别为

、 ,

试证： E( XX )

。

2、设随机向量 X ~ N P (

, ), 又设 Y=Ar pX+br 1 ,

试证： Y

~ Nr ( A b, A

' 。

A )

华南农业大学期末试卷（ A ）答案

一、填空题

1、 0 2、W 3（ 10，∑） 3、

1

2

1

3

4

2

1

1

R

6

3

1

1

1

4

6

4、 0.872 1 1.743

5、 T 2（ 15， p）或（ 15p/(16-p) ） F（ p， n-p）

二、计算题

、令

x2

x3

x1

2x3 ,

则

1

y1

x1

, y2

y1

x2

x3

0

1

-1

x1

x1

1

0

0

x2

y2

x1

2x3

1

0

2

x3

y1

0

1

-1

1

2

1

0

0

0

1

E

y2

1

0

2

2

3

y1

01-1

16

4 2

01-1

1

0

0

4

4

1

1

0

0

V

y2

1

0

2

2

1

4

1

0

2

10

6

16

6

16

20

16

20

40

2

10

6

16

故y1，y2的联合分布为 N3 (

1 ,

6

16

20 )

3

16

20

40

故不独立。

、假设检验问题：

H 0 :

，

0

2

0

H1 :

8.0

经计算可得： X

0

2.2

,

1.5

4.3107

14.6210

8.9464

S 1

(23.13848) 1

14.6210

3.172

37.3760

8.9464

37.3760

35.5936

构造检验统计量： T 2

n( X

0) S 1(X

0 )

6

70.0741

420.445

由题目已知

F0.01

(3,3)

，由是

29.5

T02.01

3

5

F0.01 (3,3)

147.5

3

所以在显著性水平

下，拒绝原设

H 0

0.01

即认为农村和城市的

周岁男婴上述三个

2

指标的均值有显著性差异

3、由 Bayes判别知

W ( x)

f1 (x)

exp[( x

)T

1 (

1

2 )]

exp(4x1

2x2

4)

f2 (x)

其中，

1

(

12 )

3

? 1

1

9

1

%

%

2

4

2

2

,

8

1

,(

1

)

6

2

4

4

1

d

q2 C(1| 2)

e3 ,W ( x

3

exp(2)

d

e3

)

q1C(2 |1)

5

3

X G2

5

1

、(1) 由

1

得特征根为

1

1 3 ,

1

1

2

3

4

1

1

x1

解

1 所对应的方程

1

x2

0

1

x3

1 x4

得

1 所对应的单位特征向量为

1

1

1

1

2

2

2

2

故得第一主成分

1

1

1

1

2 X1

2 X 2

2 X3

2 X 4

Z

第一个主成分的贡献率为

1

1

3

95%

1

2

3

4

4

得

0.95

4

1

0.933

3

5、由题得

－1

T 2

TT 11



1

＝

0.1

0

1

＝

1

0

－

－

0

1

0

0.1

1

－1

12

21

2

22

11

＝

0.1

0

0

0

1

0

0

0.95

0.1

0

0

0

0

1

0.95

0

0

0.01

0

0

0

1

0

0.9025

求 TT T的特征值，得

0

0

0

2

0.9025

0.9025

2

0.9025,

2

0

0.95

1

2

1

TT T的单位正交化特征向量

0

0

e1

0.9025e1,

0

0.9025

1

0.1

0

0

0

112 e1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

22

21

1

1

1

0

0

0.95

0

1

0.95

0

0.1

0

0

1

0

V1

X 2,W1

0.54Y1

为第一典型相关变量，且（ V1 ,W1） 0.95为一对典型相关系数。

三、证明题

1、证明： =V(X ) E[(X EX)(X EX)]

E(XX ) (EX)(EX)

E(XX )

故E( XX )

2、证明 : 由题可知 Y服从正态分布，

E(Y)

E(AX

b)

AE( X ) b

A

b

V (Y)

V (AX

b)

AV (X )A

A A'

故

Y ~ N r ( A

'

。

b, A A )

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