2020高考数学概率_2020高考数学--统计与概率专题强化训练x
时间:2022-01-07 00:19:03 来源:网友投稿
i1
i1
【 2020 高考数学】 统计与概率专题强化训练
汽车尾气中含有一氧化碳 (CO),碳氢化合物 (HC) 等污染物,是环境污染的主要因素之一, 汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象, 所以国家根据机动车使用 和安全技术、 排放检验状况, 对达到报废标准的机动车实施强制报废. 某环保组织为了解公 众对机动车强制报废标准的了解情况,随机调查了 100 人,所得数据制成如下列联表:
3
若从这 100 人中任选 1 人,选到了解机动车强制报废标准的人的概率为 5,问是否有 95%
的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”?
不了解了解
不了解
了解
总计
女性
a
b
50
男性
15
35
50
总计
p
q
100
该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中 CO 浓度的数据,并 制成如图 7 所示的折线图,若该型号汽车的使用年限不超过 15 年,可近似认为排放的尾气
n( ad-bc)2 c+d)( a+ c)中 CO 浓度
n( ad-bc)2 c+d)( a+ c)
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
附: K2=
a+b)
b+d)(n=a+b+ c+d)
n
xi yi nxy
参考公式:
用最小二乘法求线性回归方程系数公式: b? i 1n ,a? y b?x .
n 2 2 x1 nx
某校为了普及环保知识,增强学生的环保意识,在全校组织了一次有关环保知识的竞赛, 经过初赛、 复赛,甲、 乙两个代表队 (每队 3人)进入了决赛, 规定每人回答一个问题,
3 答对为本队赢得 10分,答错得 0分,假设甲队中每人答对的概率均为 3 ,乙队中 3人
4
432
答对的概率分別为 4,3,2 ,且各人回答正确与否相互之间没有影响,用 表示乙队的
543
总得分.
( 1)求 的分布列;
( 2)求甲、乙两队总得分之和等于 30分且甲队获胜的概率.
某单位从一所学校招收某类特殊人才,对 20 位已经选拨入围的学生进行运动协调能力和
逻辑思维能力的测试,其测试结果如下表:
逻辑思维能力 运动协调能力
一般
良好
优秀
一般
2
2
1
良好
4
b
1
优秀
1
3
a
例如,表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有 4 人.由于部分数据丢失, 只知 道从这 20 位参加测试的学生中随机抽取一位,抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学
2
生的概率为 .
5
(1)求 a , b 的值.
(2)从参加测试的 20 位学生中任意抽取 2 位,求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维 能力优秀的学生的概率.
(3)从参加测试的 20 位学生中任意抽取 2 位,设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生 人数为 ,求随机变量 的分布列.
英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习 3 个英语单词: 每周五对一周内所学单词随
机抽取若干个进行检测(一周所学的单词每个被抽到的可能性相同)
(1)英语老师随机抽了 4 个单词进行检测,求至少有 3 个是后两天学习过的单词的概率;
(2)某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为 4 ,对前两天所学过的单词每个
5
3
能默写对的概率为 3 ,若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测,求该学生能默写
5
对的单词的个数 的分布列和期望。
世界那么大,我想去看看,处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈,旅游可支配
收入日益增多,可见大学生旅游是一个巨大的市场 .为了解大学生每年旅游消费支出(单位:
百元)的情况,相关部门随机抽取了某大学的 1000 名学生进行问卷调查,并把所得数据列
成如下所示的频数分布表:
组别
[0,20)
[20,40)
[40,60)
[60,80)
[80,100)
频数
2
250
450
290
8
(Ⅰ)求所得样本的中位数(精确到百元);
(Ⅱ)根据样本数据,可近似地认为学生的旅游费用支出 X服从正态分布 N (51,15 2) ,若 该所大学共有学生 65000 人,试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上; (Ⅲ)已知样本数据中旅游费用支出在 [80,100]范围内的 8名学生中有 5名女生, 3名男生,
现想选其中
3 名学生回访,
记选出的男生人数为
Y,
求 Y 的分布列与数学期望
附:
若X:
N( ,
2),则
P(
X
)
0.6826 ,
P(
2
X
2)
0.9544 ,
P( 3
X 3 ) 0.9973.
PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值, 即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为 一级;在 35微克/立方米~ 75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75微克/立方米以
空气质量为超标 某市环保局从市区 2017 年全年每天的 PM2.5 监测数据中,随机抽取 15 天的数据作为 标本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) .
( 1)从这 15 天的数据中任取一天,求这天空气质量达到一级的概率;
(2)从这 15天的数据中任取 3天的数据, 记 表示其中空气质量达到一级的天数, 求
的分布列;
(3)以这 15天的 PM2.5 的日均值来估计一年的空气质量情况 (一年按 360天来计算), 则一年中大约有多少天的空气质量达到一级 .
某大型商场今年国庆期间累计生成万张购物单,从中随机抽出张,对每单消费金额进行 统计得到下表:
消费金额 (单位:元 )
购物单张数
25
25
30
由于工作人员失误, 后两栏数据无法辨识, 但当时记录表明, 根据以上数据绘制成的频 率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等 .用频率估计概率,完
成下列问题:
(1)估计今年国庆期间该商场累计生成的购物单中,单笔消费额超过元的概率; (2)为鼓励顾客消费,该商场计划在今年国庆期间进行促销活动,凡单笔消费超过元 者,可抽奖一次 .抽奖规则为:从装有大小、材质完全相同的个红球和个黑球的不透明 口袋中, 随机摸出个小球,并记录两种颜色小球的数量差的绝对值, 当时, 消费者可分 别获得价值元、元和元的购物券,求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期望
【 2020 高考数学】 统计与概率专题强化训练
汽车尾气中含有一氧化碳 (CO),碳氢化合物 (HC) 等污染物,是环境污染的主要因素之一, 汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象, 所以国家根据机动车使用 和安全技术、 排放检验状况, 对达到报废标准的机动车实施强制报废. 某环保组织为了解公 众对机动车强制报废标准的了解情况,随机调查了 100 人,所得数据制成如下列联表:
3
(1)若从这 100 人中任选 1 人,选到了解机动车强制报废标准的人的概率为 5,问是否有 95%
的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”?
不了解了解总计女性ab50男性153550总计pq100(3) 该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中 CO 浓度的数据,并 制成如图
不了解
了解
总计
女性
a
b
50
男性
15
35
50
总计
p
q
100
(3) 该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中 CO 浓度的数据,并 制成如图 7 所示的折线图,若该型号汽车的使用年限不超过 15 年,可近似认为排放的尾气
中 CO 浓度 y%与使用年限 t 线性相关, 试确定 y关于 t 的回归方程, 并预测该型号的汽车使 用 12 年排放尾气中的 CO 浓度是使用 4 年的多少倍.
n( ad-bc)2 c+d)( a+ c)
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
附: K2=
a+b)
b+d)(n=a+b+ c+d)
xi yi nxy
参考公式:
用最小二乘法求线性回归方程系数公式: b? i 1n ,a? y b?x .
n 2 2 x1 nx
n
i1
解析】 (1)设“从 100 人中任选 1 人,选到了解机动车强制报废标准的人”为事件 A,
由已知得 P(A)= =3,所以 a= 25,b=25,p= 40,q= 60.
100 5
K2 的观测值 k=
100×( 25× 35- 25×15)
40×60× 50×50
2
≈ 4.167>3.841
故有 95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”
11
(2)由折线图中所给数据计算,得 t=5×(2+4+6+8+10)=6,y=5×(0.2+0.2+ 0.4+0.6+
0.7)=0.42,
故b^=2.8=0.07,^a= 0.42-0.07×6= 0, 所以所求回归方程为 ^y=0.07t.
40
故预测该型号的汽车使用 12 年排放尾气中的 CO 浓度为 0.84%,因为使用 4 年排放尾气中 的 CO 浓度为 0.2%,所以预测该型号的汽车使用 12年排放尾气中的 CO 浓度是使用 4年的 4.2倍.
某校为了普及环保知识,增强学生的环保意识,在全校组织了一次有关环保知识的竞赛,
经过初赛、 复赛,甲、 乙两个代表队 (每队 3人)进入了决赛, 规定每人回答一个问题, 3
答对为本队赢得 10分,答错得 0分,假设甲队中每人答对的概率均为 3 ,乙队中 3人 4
432
答对的概率分別为 4,3,2 ,且各人回答正确与否相互之间没有影响,用 表示乙队的
543
总得分.
1)求 的分布列;
2)求甲、乙两队总得分之和等于 30分且甲队获胜的概率.
解析】( 1)由题意知, 的可能取值为 0, 10,20, 30,
432
因为乙队 3 人答对的概率分别为 , , ,
543
所以 P(
所以 P(
0)
(1
54)
(1
34)
(1
P(
10)
4
5
(1
34)
(1
23)
(1
4
3
2
4
P(
20)
(1
)
(1
)
5
4
3
5
4
3
2
2
P(
30)
5
4
3
5
所以
的分布列为
2)
1
3)
60
4
3
2
4
3
2
3,
)
(1
)
(1
)
(1
)
,
5
4
3
5
4
3
20
3
2
4
3
2
13 ,
(1
)
4
3
5
4
3
30
92 3 2
9
2 3 2
1
3
, P(B)
C3 ( )
1280
4
4
20
又 P(A) (43)3 610
0”,B表示 “甲队得分等于 20,乙队
81
1280
0
10
20
30
1
3
13
2
P
60
20
30
5
2)设 A 表示 “甲队得分等于 30,乙队得分等于
得分等于 10 ”,易知 A, B互斥,
所 以 甲 、 乙 两 队 总 得 分 之 和 等 于 30 分 且甲 队 获 胜 的 概 率 为
334895
33
48
95
逻辑思维能力的测试,其测试结果如下表:
逻辑思维能力 运动协调能力
一般
良好
优秀
一般
2
2
1
良好
4
b
1
优秀
1
3
a
90P(A B) P(A) P(B) 1280某单位从一所学校招收某类特殊人才,对
90
P(A B) P(A) P(B) 1280
某单位从一所学校招收某类特殊人才,对
128
20 位已经选拨入围的学生进行运动协调能力和
例如,表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有 4 人.由于部分数据丢失, 只知 道从这 20 位参加测试的学生中随机抽取一位,抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学
2
生的概率为 2 .
5
(1)求 a , b 的值.
(2)从参加测试的 20 位学生中任意抽取 2 位,求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维 能力优秀的学生的概率.
(3)从参加测试的 20 位学生中任意抽取 2 位,设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生 人数为 ,求随机变量 的分布列.
解析】(1)设事件 A:从 20位学生中随机抽取一位,抽到运动协调能力或逻辑思维能力
优秀的学生.由题意可知,运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有 (6 a) 人.
则 P(A) 6 a 2 .解得 a 2.所以 b 4.
20 5
(2)设事件 B:从 20人中任意抽取 2人,至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的 学生.由题意可知,至少有一项能力测试优秀的学生共有 8 人.
则 P(B) 1 P(B) 162
则 P(B) 1 P(B) 1
62
95
3) 的可能取值为 0,1, 2.
20 位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为 8 人.
所以 P( 0)C122C
所以 P( 0)
C122
C220 95, P(
1) CC1222C0 8
20
P(
2)
C82 14
C220 95
意可得 P AC63C6
意可得 P A
C63C61 C64 3
C142 11
2
1 2 2
5 5 125
P
1
14
1
2
1
2
3
19 ,
C2
5
5
5
5
5
125
P
2
2
4
2
1
4
1
3
56
C2
,P
5
5
5
5
5
125
2)由题意可得
ξ可取 0,1, 2,3,则有 P
2
4
3
48
3
5
5
125
所以 的分布列为
0
1
2
P
33
48
14
95
95
95
33 48 14 76 4
所以, E 0 1 2 .
95 95 95 95 5
英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习 3 个英语单词: 每周五对一周内所学单词随 机抽取若干个进行检测(一周所学的单词每个被抽到的可能性相同)
1)英语老师随机抽了 4 个单词进行检测,求至少有 3 个是后两天学习过的单词的概率;
(2)某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为 4 ,对前两天所学过的单词每个
5
3
能默写对的概率为 3 ,若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测,求该学生能默写
5
对的单词的个数 的分布列和期望。
A,则由题解析】(1)设英语老师抽到的 4 个单词中, 至少含有 3
A,则由题
所以 的分布列为:
0
1
2
3
2
19
56
48
P
125
125
125
125
故 E 0 2 1 19 2 56 3 48 11
125 125 125 125 5
世界那么大,我想去看看,处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈,旅游可支配
收入日益增多,可见大学生旅游是一个巨大的市场 .为了解大学生每年旅游消费支出(单位:
百元)的情况,相关部门随机抽取了某大学的 1000 名学生进行问卷调查,并把所得数据列 成如下所示的频数分布表:
组别
[0,20)
[20,40)
[40,60)
[60,80)
[80,100)
频数
2
250
450
290
8
Ⅰ)求所得样本的中位数(精确到百元);
Ⅱ)根据样本数据,可近似地认为学生的旅游费用支出 X服从正态分布 N (51,15 2) ,若
该所大学共有学生 65000 人,试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上;
Ⅲ)已知样本数据中旅游费用支出在 [80,100]范围内的 8名学生中有 5名女生, 3名男生,
现想选其中3 名学生回访,记选出的男生人数为Y,求 Y 的分布列与数学期望 .附:若
现想选其中
3 名学生回访,记选出的男生人数为
Y,求 Y 的分布列与数学期望 .
附:若 X :
N( , 2) ,则 P(
) 0.6826 ,
P( 2
2 ) 0.9544 , P(
) 0.9973.
2【解析】(Ⅰ)设样本的中位数为 x
2
【解析】(Ⅰ)设样本的中位数为 x ,则 2 1000 解得 x 51 ,所得样本中位数为 5100.
250 450
1000 1000
(x 40) 0.5 ,
20
51,15,2 81 ,旅游费用支出在8100元以上的概率为
51,
15,
2 81 ,
旅游费用支出在
8100元以上的概率为 P(x
2)
1 P( 2
2 ) 1 0.9544
0.0228 ,
0.0228 65000 1482,
估计有 1482位同学旅游费用支出在8100元以上 .Ⅲ)Y 的可能取值为 0
估计有 1482位同学旅游费用支出在
8100元以上 .
Ⅲ)
Y 的可能取值为 0,1, 2,
3,
P(Y
0) CC53 258, P(Y 1) C83 28
C8
CC3C835
15 ,
28,
P(Y2) C
P(Y
2) CC3 C3 5 1556, P(Y 3) CC33
C83 56 C83
1
28,
Y0123P515151282828
Y
0
1
2
3
P
5
15
15
1
28
28
28
56
∴Y 的分布列为
5
1
15
2
15
1
EY
28
28
56
56
PM2.5
PM2.5
PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,我国
3
3
标准采用世卫组织设定的最宽限值, 即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为 一级;在 35微克/立方米~ 75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75微克/立方米以
上空气质量为超标 .
某市环保局从市区 2017 年全年每天的 PM2.5 监测数据中,随机抽取 15 天的数据作为 标本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) .
1)从这 15 天的数据中任取一天,求这天空气质量达到一级的概率;
2)从这 15天的数据中任取 3天的数据, 记 表示其中空气质量达到一级的天数, 求
的分布列;
3)以这 15 天的 PM2.5 的日均值来估计一年的空气质量情况 (一年按 360 天来计算),
则一年中大约有多少天的空气质量达到一级
解析】( 1)设 B 这天空气质量为一级, (2) N 15,M 5,
解析】( 1)设 B 这天空气质量为一级, (2) N 15,M 5,n 3 ,
的可能取值为 0, 1,2,3, 则 P
PB
15
k 3 k
k C5C310 k 0,1,2,3 .
C15
0
1
2
3
24
45
20
2
P
91
91
91
91
分布列为:
5
1
(3)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级的概率为
1
一年中空气质量达到一级的天数为 , 则 : B 360,
15
360 1 120 (天)
3
故一年中平均有 120 天的空气质量达到一级
某大型商场今年国庆期间累计生成万张购物单,从中随机抽出张,对每单消费金额进行
统计得到下表:
消费金额 (单位:元 )
购物单张数
25
25
30
由于工作人员失误, 后两栏数据无法辨识, 但当时记录表明, 根据以上数据绘制成的频 率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等 .用频率估计概率,完
成下列问题:
(1)估计今年国庆期间该商场累计生成的购物单中,单笔消费额超过元的概率;
(2)为鼓励顾客消费,该商场计划在今年国庆期间进行促销活动,凡单笔消费超过元 者,可抽奖一次 .抽奖规则为:从装有大小、材质完全相同的个红球和个黑球的不透明 口袋中, 随机摸出个小球,并记录两种颜色小球的数量差的绝对值, 当时, 消费者可分 别获得价值元、元和元的购物券,求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期望
解析】( 1)因消费额在区间的频率为,故中位数估计值为 设所求概率为,而消费额在的概率为 .
故消费额在区间内的概率为 .
因此消费额的平均值可估计为 .令其与中位数相等,解得
故单笔消费额超过元的概率为 0.05.
2)根据题意,得 P X 4C5 4C5 1
2)根据题意,得 P X 4
C5 4C5 1 , P X 2
C140 21
C15C35 C35C15
C140
10
21
C25C
C140
10 .设抽奖顾客获得的购物券价值为,则的分布列为
21
4
2
0
500
200
100
2
5
故 E Y 500 1 200 10 100 10 500 (元 ).
21 21 21 3
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