2005_physics第一届泛珠三角物理奥林匹克竞赛

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　 第一届泛珠三角物理奥林匹克竞赛

　（5 2005 年 年 1 1 月 月 9 29 日上午）

　 题 题 1 （5 分）

　光滑平面上有两条长度均为 2 l、而质量为 m的均匀蠕虫A 和 B。它们的起始位置如图所示，蠕虫 A 的质心位于x-y 坐标（0, 0）。蠕虫 B 开始慢慢从 A 身上爬过，爬时两虫的身体轴线始终保持夹角  。试用参量 l, 

　表示：当蠕虫 B爬过 A后，两蠕虫各个质心位置的坐标。

　题 题 2 （13 分）

　一体积为 0.001m 3

　的空气泡和一质量和体积与空气泡相同的钢瓶从水下 2.0 km 深处放出。不考虑磨擦。气泡温度不变。空气在水面的密度为 1.21 kg/m 3 ，大气压为 1.0 x 10 5

　N/m 2 。(提示: abxdxba    ln1 )

　(a) 求气泡到水面时体积。

　（3 分）

　(b)求在深度 h (h < 2.0 km)时气泡和钢瓶净得的能量的表达式。（7 分）

　(c) 用该表达式求气泡和钢瓶到达水面时的速度。（3 分）

　题 题 3 （12 分）

　一质量为 0.5 M

　的人站在一以角速度  旋转的厚度质量均匀，质量为 0.5 M ，半径为 R 的圆台上。圆台与中心转轴间无磨擦。该人离圆台中心距离为 r （< R）

　，并带有 10 颗质量为 0.01 M 的石子。

　(a) 求整个系统的总角动量。（4 分）

　为了减速该人准备向外扔石子。石子扔出时相对于他的速度为 v

　，方向与径向成夹角  .

　 (b) 求当他扔了一石子后圆台的角速度， 并找出使角速度减少最多的夹角max 。（4分）

　(c) 求当他以max 扔光石子后圆台的角速度。(答案可用多项式表达) （4 分）

　题 题 4 （8 分）

　一均匀长竿长度为 L，质量为 M ， 在一半径为 R (>0.5L)的光滑半球面内处于静止状态。

　(a) 求竿在其平衡位置附近作小幅振荡的频率。（4 分）

　(b) 已知小幅振荡时长竿偏离水平线最大偏角为max 。长竿在最大偏角和水平时球面对竿端的力的强度的差可写成2max  Mg N   。求  。（4分）

　  xyAB xyAB

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　 题 题 5 （12 分）

　一电磁波的电场为) (0 0t kZ ie x E E ，其中0E

　和 ω 为实常数, knc~  ，c 为真空光速， n~为介质的介电常数（可以是复数）。

　 (a) 简单讨论电磁波在介质里传播过程中，当 n~是实数，虚数，或复数时电磁波强度的变化。（4分）

　(b) 求磁场 B, 以及 Poynting 向量在一个周期里的平均量     ) (10B E S  。（4分）

　(c) dzS dq 是描述电磁波在介质里能量损失的物理量。计算 q，并简单讨论当 n~是实数，虚数，或复数时所得结果的物理意义。（3分）

　(d) 根据上述结果，电磁波在介质里传播时如果其强度衰减，是否其能量一定有损失? （1 分）

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　 第一届泛珠三角物理奥林匹克竞赛

　（5 2005 年 年 1 1 月 月 9 29 日下午）

　 题 题 6 （12 分）

　下图中阴影部分为均匀磁场区。磁场方向垂直纸面向外。

　(a) 一平面线圈带电流 I，整个线圈在磁场区内，其平面与磁场垂直。求磁场对线圈的力。（3分）

　(b) 当线圈有部分在磁场区外时，磁场对线圈的力可表达成 F =  wBI, 其中 w 是线圈与磁场区边缘两交界点间的距离, 其方向则向上或向下（由电流方向决定）。求  。（3分）

　(c) 一半圆型线圈半径为 r, 电阻为 R，质量为 m，从磁场区内下落。线圈平面始终与纸面平行，其直边始终与磁场区底部边缘平行，距离为 y。不计线圈自感。导出决定 y（<R）的微分方程式。如果你求不到(b)部分的  ，你可当它是已知的。（6 分）

　题 题 7 （15 分）

　当一半导体被加上相互垂直的电场和磁场时，就会产生一与电流方向 j垂直的电压HV 。这一现象称为霍尔效应。

　(a) 一半导体为 W W  的方型薄膜，里面的电流由带正电的载流子运动引起， 每个载流子带电荷 e，载流子面密度为 n, 半导体导电率为  。另有一负电荷本底使半导体除了边缘以外处处中性。半导体内电场处处均匀。外加磁场 B 与薄膜垂直。当电压 V 加上后，除了产生 X-方向的电流 j外，还产生一与电流方向垂直的电压HV 。

　求到达稳态时的霍尔系数 V V RH H/  。（注意电流 j不是已知量）（6 分）

　最近发现，在某些半导体里存在自旋霍尔效应。该效应与载流子固有的磁矩 m 有关。

　在二维系统中载流子会受到一附加的力 ) ( v m FR R   

　(Rashba 力)。其中 v为载流子在二维系统(X-Y)平面的速度，R 为常数。磁矩 m保持与平面垂直，因此z m m   。注意这时无外加磁场。不计载流子磁矩间的相互作用。

　(b) 设电场处处均匀，其沿 X-方向的力远大于RF，求 Y-方向的电流。电流与 m是何关系? （6 分）

　y

　w 磁场区

　磁场区 (a) (b) (c) jVyxzjVyxz BjHVVyxBjHVVyx

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　 (c) 由于与边界的碰撞，载流子的磁矩方向过了时间 

　之后就变成无序。也就是说每单位长度边界每秒钟有 n m / 

　的载流子的磁矩方向成为无序，其中 n m 是还保持磁矩方向( z )的载流子密度。求边缘区的磁化强度 M。（3分）

　题 题 8 （23 分）

　电流变液由绝缘液体（比如硅油）和许多悬浮其中的介电小球组成，是一种因外加电场而从液体形态变成固体形态的物质。如图所示一测试装置，包括两间距为 D ，面积为 A 的平行导电板，板间充满电流变液。两板间无电压时电流变液处于液体形态，因此两板可无磨擦地在水平方向相对运动。

　两板间加上电压 V 后，小球被电场极化并沿电场排成直行。一板相对另一板要平移一小距离  x 就需要一力  f。切变模量 

　的定义为 xfAD  。小球的半径为 R （<< D）, 介电常数为  ，总体小球占整个电流变液的体积比为 m。

　无小球时液体的介电常数为1。不考虑重力。以下题目要求你将 

　用上述物理量表达出来。

　(a) 第一步要通过求解(a1) – (a3)来计算单一小球在一均匀外电场0E里的极化 P。已知球体内的极化是均匀的，方向与0E相同。

　(a1) 求在球心位置由极化 P产生的电场。（3 分）

　(a2) 求球体内的总电场。（3分）

　(a3)

　单个小球极化产生的总电偶极子可表达成0 0E p  。

　求  。（3分）

　(b) 把小球近似当作位于球心的理想电偶极子，并只和0E有关。如果你没求出(a3)里的 ， 你可以当它是已知常数来计算下面的问题。（提示：展开时保留到 d 2 项，d是偶极子的长度。）

　(b1) 求当两球接触，左右并排和上下排列时（如下图所示）的静电能量。

　（4分）

　(b2) 求当一球与板接触时板对球的静电力。（3 分）

　(b3) 如下图所示，求当两球上下排列时，上面的球沿水平方向平移一小距离  a 时的水平回复力。（3分）

　 (c) 设加上电压后所有小球都排成连续的单行的细柱，连接上下导电板。根据你(b1)的答案，细柱容易粘在一起吗？只考虑同一柱内最邻近球之间的力，当上板平移了一小距离  x 时, 每根柱最顶端的球仍然粘在板上跟板移动了同样距离。如右图所示，上面每个球都相对于下一个球移动了相同距离。最底部的球仍然粘在下板上不动。

　求切变模量  .（4 分）

　0E0E0E(b1)0E0E(b1)(b3)(b2)导电板导电板电流变液导电板导电板电流变液

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