二次根式知识点总结及常见题型

　二次根式知识点总结及常见题型

　一、二次根式的定义

　形如 a （ a ≥ ≥0 ）的式子叫做二次根式. 其中“ ” 叫做二次根号, a 叫做被开方数. （1 1 ）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数. . 据此可以确定字母的取值范围; ;

　（2 2 ）判断一个式子是否为二次根式, , 应根据以下两个标准判断: :

　① 是否含有二次根号 “ ”; ;

　② 被开方数是否为非负数. .

　若两个标准都符合, , 则是二次根式; ; 若只符合其中一个标准, , 则不是二次根式. .

　（3 3 ）形如 a m （ a ≥ ≥0）

　）

　的式子也是二次根式, , 其中 m 叫做二次根式的系数, , 它表示的是: :

　a m a m   （ a ≥ ≥0）

　）; ;

　（4 4 ）根据二次根式有意义的条件, , 若二次根式 B A 与 A B  都有意义, , 则有 B A . .

　二、二次根式的性质

　二次根式 具有以下性质: （ （1 ）双重非负性: a ≥ ≥0, a ≥ ≥0;（ （ 主要用于字母的求值）

　）

　（ （2 ）回归性:   a a 2（ a ≥ ≥0 ）;（ （ 主要用于二次根式的计算）

　）

　（ （3 ）转化性:  ) 0 () 0 (2a aa aa a .（ （ 主要用于二次根式的化简）

　）

　重要结论: :

　（1 1 ）若几个非负数的和为 0, 则每个非负数分别等于 0.

　若 02   C B A , , 则 0 , 0 , 0    C B A . .

　应用与书写规范 :∵ 02   C B A , ,

　A ≥0 0, ,2B ≥0 0, , C ≥0 0

　∴ 0 , 0 , 0    C B A . .

　该性质常与配方法结合求字母的值. .

　（2 2 ）

　        B A A BB A B AB A B A2; ; 主要用于二次根式的化简. .

　（3 3 ）      0022A B AA B AB A , , 其中 B ≥0 0; ;

　该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简: : 可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内, , 以达到化简的目的. .

　（4 4 ）

　  B A B A  22, , 其中 B ≥0 0. .

　该结论主要用于二次根式的计算. .

　例 例 1. 式子11 x在实数范围内有意义,则 则 x 的取值范围是_________. 分析: : 本题考查二次根式有意义的条件, , 即被开方数为非负数, , 注意分母不能为 0.

　解 解: 由二次根式有意义的条件可知: 0 1  x ,∴ ∴ 1  x . 例 例 2. 若 若 y x, 为实数,且 且211 1      x x y , 化简:11yy. 分析: : 本题考查二次根式有意义的条件, , 且有重要结论: : 若二次根式 B A 与 A B  都有意义, , 则有 B A . .

　解 解:∵ ∵ 1  x ≥ ≥0, x  1 ≥ ≥0

　∴ x ≥ ≥1, x ≤ ≤1

　∴ 1  x

　 ∴ 121210 0      y

　 ∴ 11111 yyyy. 题 习题 1. 如果 5 3  a 有意义, 则实数 a 的取值范围是__________. 题 习题 2. 若 若 2 3 3      x x y ,则 则 yx _________. 题 习题 3. 要使代数式 x 2 1 有意义,则 则 x 的最大值是_________. 题 习题 4. 若函数**y2 1 , 则自变量 x 的取值范围是__________. 题 习题 5. 已知 1 2 8 12 3      a a b ,则 则 ba _________.

　例 例 3. 若 若 0 4 4 12     b b a ,则 则 ab 的值等于

　【

　 】

　】

　（ （A）

　）

　2 

　（B ）0

　 （C ）1

　 （D ）2 分析: : 本题考查二次根式的非负性以及结论: : 若几个非负数的和为 0, 则每个非负数分别等于0.

　解 解:∵ ∵ 0 4 4 12     b b a

　 ∴   0 2 12    b a

　 ∵ 1  a ≥ ≥0,  22  b ≥ ≥0

　∴ 0 2 , 0 1     b a

　 ∴ 2 , 1   b a

　 ∴ 2 2 1    ab . 选择【 D 】. 例 例 4. 无论 x 取任何实数, 代数式 m x x  62都有意义,则 则 m 的取值范围是__________. 分析: : 无论 x 取任何实数, , 代数式 m x x  62都有意义, , 即被开方数 m x x  62≥ ≥0 恒成立, , 所以有如下两种解法: :

　解法一: 由题意可知: m x x  62≥ ≥0

　∵   9 3 622      m x m x x ≥ ≥0

　∴  23  x ≥ m  9

　 ∵  23  x ≥ ≥0

　∴ m  9 ≤ ≤0,∴ ∴ m ≥ ≥9. 解法二:设 设 m x x y    62

　∵无论 x 取任何实数, 代数式 m x x  62都有意义 ∴ m x x y    62≥ ≥0 恒成立 即抛物线 m x x y    62与 x 轴最多有一个交点 ∴   m m 4 36 4 62      ≤ ≤0 解之得: m ≥ ≥9. 例 例 5. 已知 c b a , , △ 是△ABC 的三边长, 并且满足 c c b a 20 100 8 62      , 试判断△ABC 的形状.

　分析: : 非负数的性质常和配方法结合用于求字母的值. .

　解 解:∵ ∵ c c b a 20 100 8 62     

　 ∴ 0 100 20 8 62       c c b a

　 ∴   0 10 8 62      c b a

　 ∵ 6  a ≥ ≥0, 8  b ≥ ≥0,  210  c ≥ ≥0

　∴ 0 10 , 0 8 , 0 6       c b a

　 ∴ 10 , 8 , 6    c b a

　 ∵ 100 10 , 100 8 62 2 2 2 2 2      c b a

　 ∴2 2 2c b a  

　 ∴△ABC 为直角三角形. 题 习题 6. 已知实数 y x, 满足 0 8 4     y x , 则以 y x, 的值为两边长的等腰三角形的周长为 为

　 【

　 】

　】

　（ （A ）20 或 或 16

　（B ）20 （ （C ）16

　 （D ）以上答案均不对 题 习题 7. 当 当  x _________ 时, 1 1 9   x 取得最小值, 这个最小值为_________. 题 习题 8. 已知24 42 2  ** xy ,则 则yx 的值为_________. 题 习题 9. 已知非零实数 b a, 满足     a b a b a a          4 1 5 3 16 82 2,求 求1  ba 的值. 提示: : 由     1 52  b a ≥ ≥0, ,且 且 0 12  b 可得: : 5  a ≥ ≥0 ,∴ a ≥ 5.

　 例 例 6. 计算:

　（ （1）

　）

　 26 ;

　（2）

　）

　 23 2  x ;

　（3）

　）2323 . 分析: : 本题考查二次根式的性质: :   a a 2（ a ≥ ≥0 ）. 该性质主要用于二次根式的计算. .

　解 解: （1）

　）

　  6 62 ; （ （2）

　）

　  3 2 3 22   x x ; （ （3）

　）

　  6329323323222     . 注意: :   B A B A  22, , 其中 B ≥0 0. . 该结论主要用于二次根式的计算. .

　例 例 7. 化简: （ （1）

　）225 ;

　（2）

　）2710 ;

　（3）

　）

　9 62  x x   3  x . 分析: : 本题考查二次根式的性质: :  ) 0 () 0 (2a aa aa a . . 该性质主要用于二次根式的化简. .

　解 解: （1）

　）

　25 25 25 2   ; （ （2）

　）7107107102   ; （ （3）

　）

　  3 3 9 622      x x x x

　 ∵ 3  x

　 ∴原式 x  3 . 注意: :

　结论: :         B A A BB A B AB A B A2. . 该结论主要用于二次根式和绝对值的化简. .

　例 例 8. 当 当 3  x 有意义时, 化简:    2 21 2 5 x x x      . 解 解:∵ ∵ 二次根式 3  x 有意义 ∴ 3  x ≥ ≥0

　∴ x ≥ ≥3

　∴    2 21 2 5 x x x     

　2 31 2 51 2 5           ** x ** x x 例 例 9. 化简:    222 3    x x . 分析: :   2 22   x x , , 继续化简需要 x 的取值范围, , 而取值范围的获得需要挖掘题目本身的隐含条件: : 3  x 的被开方数 3  x 为非负数. .

　解 解: 由二次根式有意义的条件可知: 3  x ≥ ≥0 ∴ x ≥ ≥3

　∴    222 3    x x

　5 22 32 3       ** ** x 例 例 10. 已知 1 0  a , 化简       2121aaaa __________. 解 解:∵ ∵ 1 0  a

　 ∴aa1

　 ∴ 2121    aaaa

　aaa aaaa aaaaaaaaaa21 11 11 11 12 2             例 例 11. 已知直线   2 3     n x m y （ n m, 是常数）,

　如图（1 ）, 化简 1 4 42      m n n n m . 解 解: 由函数   2 3     n x m y 的图象可知: xy图（1）O

　0 2 , 0 3     n m

　 ∴ 2 , 3   n m

　 ∴ 1 4 42      m n n n m

　    11 21 21 21 22                     m n n mm n n mm n n mm n n m 例 例 12. 已知 c b a , , 在数轴上的位置如图（2 ）所示, 化简:    22 2b a c c a a      .

　解 解: 由数轴可知: b a c    0

　 ∴ 0  c a

　 ∴    22 2b a c c a a     

　b ab c a c a ab a c c a a              题 习题 10. 要使    222 2    x x , x 的取值范围是__________. 题 习题 11. 若 若 02  a a ,则 则 a 的取值范围是__________. 题 习题 12. 计算: 243_________. 题 习题 13. 计算:  2221_________. 题 习题 14. 若 若   3 32   x x 成立,则 则 x 的取值范围是__________. 题 习题 15. 下列等式正确的是

　【

　 】

　】

　（ （A）

　）

　  3 32

　（B）

　）

　  3 32  

　（ （C）

　）

　3 3 3 

　 （D）

　）

　  3 32  

　题 习题 16. 下列各式成立的是

　【

　 】

　】

　ba c图（2）0

　（ （A）

　）21212  

　（B）

　）

　       3 32 （ （C）

　）21212

　 （D）

　）

　7 4 32 2 

　题 习题 17. 计算:    27 2 _________. 题 习题 18. 化简:     22x x _________. 题 习题 19. 若 若          baa b b a a22 2 21, 0 1 2 1 3 则 ________. 题 习题 20. 已知 0 1    a , 化简 41412 2  aaaa 得 得__________. 题 习题 21. 实数 c b a , , 在数轴上对应的点如图（3 ）所示, 化简代数式: 2 2 22 1 2 b ab a c b a a        的结果为

　【

　 】

　】

　（ （A）

　）

　1 2  c b

　（B）

　）

　1 

　（ （C）

　）

　1 2  c a

　（D）

　）

　1  c b

　 题 习题 22. 化简:  223 2 1 4 4     x x x .

　 例 例 13. 把 把aa1 中根号外的因式移到根号内, 结果是

　【

　 】

　】

　（ （A）

　）

　a 

　 （B）

　）

　a 

　 （C）

　）

　a

　 （D）

　）

　a  

　分析: : 本题实为二次根式的化简: : 某些二次根式在化简时, , 把根号外的系数移到根号内, , 可以达到化简的目的, , 但要注意根号外面系数的符号. . 有如下的结论: :

　      0022A B AA B AB A , , 其中 B ≥0 0. .

　abc图（3）1 0

　解 解: 由二次根式有意义的条件可知: 01 a

　∴ 0  a

　 ∴ aaaaa       1 12. 选择【 D 】. 题 习题 23. 化简  212aa 得 得__________. 三、二次根式的乘法

　 一般地, 有: ab b a   （ a ≥ ≥0, b ≥ ≥0 ）

　（1 1 ）以上便是二次根式的乘法公式, , 注意公式成立的条件: : a ≥ 0, b ≥0 0. . 即参与乘法运算的每个二次根式的被开方数均为非负数; ;

　（2 2 ）二次根式的乘法公式用于二次根式的计算; ;

　（3 3 ）两个带系数的二次根式的乘法为: : ab mn b n a m   （ a ≥ ≥0, b ≥ ≥0）

　）; ;

　（4 4 ）二次根式的乘法公式可逆用, , 即有: :

　b a ab   （ a ≥ ≥0, b ≥ ≥0 ）

　公式的逆用主要用于二次根式的化简. . 注意公式逆用的条件不变. .

　例 例 14. 若 若   6 6     x x x x 成立, 则

　 【

　 】

　】

　（ （A）

　）

　x ≥ ≥6

　（B ）0≤ ≤ x ≤ ≤6 （ （C）

　）

　x ≥ ≥0

　（D）

　）

　x 为任意实数 分析: : 本题考查二次根式乘法公式成立的条件: : ab b a   （ a ≥ ≥0, b ≥ ≥0）

　）

　解 解: 由题意可得: 0 60** 解之得: x ≥ ≥6. 选择【 A 】. 例 例 15. 若 若 1 1 12     x x x 成立,则 则 x 的取值范围是__________. 分析: : 本题考查二次根式乘法公式逆用成立的条件: : b a ab   （ a ≥ ≥0, b ≥ ≥0 ）

　解 解: 由题意可得:  0 10 1** 解之得: x ≥ ≥1. 例 例 16. 计算: a a812  （ a ≥ ≥0 ）. 解 解: a a a a a a a21214181281222     （ a ≥ ≥0 ）. 题 习题 24. 计算:   2731_________. 题 习题 25. 已知   21 233   m , 则有

　 【

　 】

　】

　（ （A）

　）

　6 5  m

　（B）

　）

　5 4  m

　（ （C）

　）

　4 5     m

　 （D）

　）

　5 6     m

　题 习题 26. 化简 12 的结果是_________. 四、二次根式的除法

　 一般地, 有: baba （ a ≥ ≥0, 0  b ）

　）

　（1 1 ）以上便是二次根式的除法公式, , 要特别注意公式成立的条件; ;

　（2 2 ）二次根式的除法公式用于二次根式的计算; ;

　（3 3 ）二次根式的除法公式可写为: : b a b a   

　（ （ a ≥ ≥0, 0  b ）; ;

　（4 4 ）二次根式的除法公式可逆用, , 即有: :

　baba （ a ≥ ≥0, 0  b ）

　公式的逆用主要用于二次根式的化简, , 注意公式逆用的条件不变. .

　五、最简二次根式

　 符合以下条件的二次根式为最简二次根式: （ （1 ）被开方数中不含有完全平方数或完全平方式; （ （2 ）被开方数中不含有分母或小数.

　注意: : 二次根式的计算结果要化为最简二次根式. .

　六、分母有理化

　 把分母中的根号去掉的过程, 叫做分母有理化. 如对21进行分母有理化, 过程为:222 2221 ;对 对3 21进行分母有理化, 过程为 为:  72 32 3 2 32 33 21  .

　由举例可以看出, , 分母有理化是借助于分数或分式的性质实现的. .

　例 例 17. 计算: （ （1）

　）654;

　（2）

　）322 3238  ;

　（3）

　）

　 2 27 28 y xy   . 解 解: （1）

　）

　3 9654654   ; （ （2）

　）

　2433816938832338382338383238322 3238              ; （ （3）

　）

　  x x y xy y xy 2 4 7 28 7 282 2 2 2         . 例 例 18. 化简: （ （1）

　）65;

　（2）

　）

　4 . 0 ;

　（3）

　）

　a a a 9 62 3  （ 3  a ）

　）. 解 解: （1）

　）6306 66 56565  ; （ （2）

　）51052524 . 0    ; （ （3 ）∵ 3  a

　 ∴       a a a a a a a a a a 3 3 9 6 9 622 2 3        

　注意: : 随着学习的深入, , 在熟练时某些计算或化简的环节可以省略, , 以简化计算. .

　例 例 19. 式子2121****成立的条件是__________.

　分析: : 本题求解的是 x 的取值范围, , 考查了二次根式除法公式逆用成立的条件: :baba

　 （ a ≥ ≥0, 0  b ）

　）.

　解 解: 由题意可得:  0 20 1** 解之得: 2  x . 例 例 20. 计算: （ （1）

　）7523  ;

　（2）

　）51 20 ;

　（3）

　）28 32 . 解 解: （1）

　）5225275237523      ; （ （2）

　）5525152051 20   ; （ （3 ）解法 1: 2 2 4 4 162823228 32      . 法 解法 2: 224 8216 642 22 8 3228 32 . 二次根式的乘除混合运算

　例 例 21. 计算: （ （1）

　）  212 23222330 ;

　（2）

　）

　18 27 12   . 解 解: （1 ）原式   252382330

　 2 32 4432 16435238302123            （ （2 ）原式 2 2 8324182712     .

　题 习题 27. 下列计算正确的是

　【

　 】

　】

　（ （A）

　）

　3 2 12 

　（B）

　）

　（ （C）

　）

　（D）

　）

　x x 2 题 习题 28. 计算:   213827 _________. 题 习题 29. 计算:  32 6 43** _________. 题 习题 30. 直线 1 3   x y 与 x 轴的交点坐标是_________. 题 习题 31. 如果 0 , 0    b a ab , 那么下面各式: ①baba ;

　 ② ② 1  abba;

　③ ③ bbaab    . 其中正确的是_________ （填序号）. 题 习题 32. 若 若 0  ab , 则化简2ab 的结果是_________. 题 习题 33. 计算: （ （1）

　）  722 5 28 3212 ;

　 （2）

　） 214323618 1841.

　例 例 22. 先化简, 再求值:14 41132   ** **x, 其中 2 2   x . 解 解:14 41132   ** **x       222112 22111 11322    ****** ****x ** 2323x x x   3

　当 2 2   x 时 时 原式 1 2 224 22 2 22 2 2      . 题 习题 34. 先化简, 再求值:111 21122  aaa aaa, 其中 1 2   a .

　题 习题 35. 先化简, 再求值:2 22 2 221y xy xy **xy x   , 其中 6 , 2   y x .

　 题 习题 36. 下列根式中是最简二次根式的是

　【

　 】

　】

　（ （A）

　）32

　（B）

　）

　3

　 （C）

　）

　9

　 （D）

　）

　12

　例 例 23. 观察下列各式:       .; 3 44 3 4 34 34 31; 2 33 2 3 23 23 21; 1 22 1 2 12 12 11         （ （1 ）请利用上面的规律直接写出100 991的结果; （ （2 ）请用含 n （ n 为正整数）的代数式表示上述规律, 并证明;

　（ （3 ）计算:   2017 12017 201614 313 212 11    . 分析: : 本题考查分母有理化. .

　解 解: （1）

　）

　11 3 10 99 100100 991   ; （ （2）

　）

　n nn n   111; （ （3 ）原式     2017 1 2016 2017 3 4 2 3 1 2            

　   20161 20171 2017 1 2017    题 习题 37. 化简:8 912 311 21  .

　七、同类二次根式

　 如果几个最简二次根式的被开方数相同, 那么它们是同类二次根式. 同类二次根式的判断方法: :

　（1 1 ）先化简二次根式; ;

　（2 2 ）看被开方数是否相同; ;

　（3 3 ）定结果: : 若相同, , 则它们是同类二次根式; ; 若不相同, , 则不是. .

　同类二次根式的合并方法: :

　几个同类二次根式相加减, , 将它们的系数相加减, , 二次根式保持不变. .

　八、二次根式的加减

　 二次根式相加减, 先把各个二次根式化简, 再合并同类二次根式. 二次根式加减运算的步骤: :

　（1 1 ）化简参与运算的二次根式; ;

　（2 2 ）合并同类二次根式; ;

　（3 3 ）检查结果. .

　例 例 24. 计算: （ （1）

　）

　12 18 8   ;

　（2）

　）

　45 12 27   . 解 解: （1 ）原式 3 2 2 5 3 2 2 3 2 2      ; （ （2 ）原式 5 3 3 5 3 3 2 3 3      . 注意: : 不是同类二次根式不能合并. .

　例 例 25. 计算: 18 32225  . 解 解: 原式 2 3 2 425  

　2272 225  例 例 26. 计算: （ （1）

　）32233223;

　（2）

　）

　    23 2 2 5 7 7 5     . 解 解: （1 ）原式2 23223

　 36199243  （ （2 ）原式 3 6 4 8 7 5     

　 6 4 9  .

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