2020-2021学年高二上学期物理人教版（2020）必修第三册导学案专题2电场能性质

　2020- -1 2021 学年高二上学期物理人教版（ 2019 ）必修第三册 导学案专题 2 2 电场的能的性质

　专题二 电场的能的性质 课题任务 电场线、等势线、运动轨迹的综合问题 电场线的特点是有方向，其他两种线没有方向，有时电场线的方向也可能未知。轨迹只有一条线，其他两种线都可能是多条线同时出现。

　解决该类问题应熟练掌握以下知识及规律 (1)带电粒子所受合力(往往仅为静电力)指向轨迹曲线的内侧。

　(2)某点速度方向为轨迹切线方向。

　(3)电场线或等差等势面密集的地方场强大。

　(4)电场线垂直于等势面。

　(5)顺着电场线方向电势降低最快。

　(6)静电力做正功，电势能减小； 静电力做负功，电势能增大。

　有时还要用到牛顿第二定律、动能定理等知识。

　例 1 (多选)一粒子从 A 点射入电场，从 B 点射出，电场的等势面和粒子的运动轨迹如图所示，图中左侧前三个等势面彼此平行，不计粒子的重力。下列说法正确的有(

　) A．粒子带负电荷 B．粒子的加速度先不变，后变小 C．粒子的速度不断增大 D．粒子的电势能先减小，后增大 [变式训练 1] 一个电子只在静电力作用下从 a 点运动到 b 点的轨迹如图虚线所示，图中一组平行实线可能是电场线也可能是等势面，则以下说法正确的是(

　) A．无论图中的实线是电场线还是等势面，a 点的场强都比 b 点的场强小

　B．无论图中的实线是电场线还是等势面，a 点的电势都比 b 点的电势高 C．无论图中的实线是电场线还是等势面，电子在 a 点的电势能都比在 b 点的电势能小 D．如果实线是等势面，电子在 a 点的速率一定大于在 b 点的速率 课题任务 电场中的功能关系 1．静电力做功的计算方法 (1)由公式 W＝qElcosα 计算，此公式只适用于匀强电场。

　(2)由 WAB＝qUAB 计算，此公式适用于任何电场。

　(3)由电势能的变化计算：WAB＝EpA－EpB。

　(4)由动能定理计算：W 静电力＋W 其他力＝ΔEk。

　2．电场中的功能关系 (1)如果只有静电力做功，则动能和电势能之间相互转化，动能(Ek)和电势能(Ep)的总和守恒，即：

　①ΔEp＝－ΔEk。

　②静电力做正功，电势能减少，动能增加； 静电力做负功，电势能增加，动能减少。

　(2)除静电力之外其他力做正功，动能和电势能之和变大； 除静电力之外其他力做负功，动能和电势能之和变小。

　(3)如果只有静电力、重力和系统内弹力做功，则电势能和机械能之和保持不变。

　(4)如果只有静电力做功，机械能一定不守恒。

　3．电势能增、减的判断方法 (1)做功判断法―→静电力做正功，电势能减小； 静电力做负功，电势能增加。

　(2)公式法―→由 Ep＝qφp，将 q、φp 的大小、正负号一起代入公式，Ep 的正值越大，电势能越大，Ep 的负值越小，电势能越大。

　(3)能量守恒法―→在电场中，若只有静电力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小，反之，电势能增加。

　(4)电荷电势法―→正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大。

　例 2 如图所示，在 O 点放置一个正电荷，在过 O 点的竖直平面内的 A 点自由释放一个带正电的小球，小球的质量为 m、电荷量为 q。小球落下的轨迹如图中虚线所示，它与以 O 为圆心、R 为半径的圆(图中实线表示)相交于 B、C 两点，O、C 在同一水平线上，∠BOC＝30°，A 距离 OC 的竖直高度为 h。若小球通过 B 点的速度为v，试求：

　(1)小球通过 C 点的速度大小；

　(2)小球由 A 到 C 的过程中电势能的增加量。

　[变式训练 2] (多选)如图所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是 O，最低点是 P，直径 MN 水平。a、b 是两个完全相同的带正电小球(视为点电荷)，b 固定在 M 点，a 从 N 点静止释放，沿半圆槽运动经过 P 点到达某点 Q(图中未画出)时速度为零，则小球 a(

　) A．从 N 到 Q 的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小 B．从 N到 P 的过程中，速率先增大后减小 C．从 N 到 Q 的过程中，电势能一直增加 D．从 P 到 Q 的过程中，动能减少量小于电势能增加量 课题任务 电场的相关图像 一、几种图像 1．φx 图像 (1)可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。

　(2)φx 图线的斜率的绝对值等于场强大小，电场强度为零处，其切线的斜率为零； 斜率的正、负代表场强的方向。

　(3)分析电荷移动时电势能的变化，可用 WAB＝qUAB，进而分析WAB 的正负，然后做出判断，或直接用 Ep＝qφ 判断。

　2．Ex 图像 (1)反映了电场强度随位移变化的规律。

　(2)E>0 表示场强沿 x 轴正方向； E<0 表示场强沿 x 轴负方向。

　(3)图线与 x 轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定。

　(4)在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。

　3．Epx 图像 (1)反映了电势能随位移变化的规律。

　(2)由 WAB＝F 电 xAB、WAB＝－ΔEpAB 得：F 电＝－，即图线的切线斜率的绝对值等于静电力的大小，正、负表示静电力的方向。

　(3)进一步判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况。

　二、常见电场的 φx 图像 1．点电荷的 φx 图像(取无限远处电势为零) (1)正点电荷的 φx 图像如图 1 所示。

　(2)负点电荷的 φx 图像如图 2 所示。

　2．两个等量异种点电荷连线上的 φx 图像：如图 3 所示。

　3．两个等量同种点电荷的 φx 图像 (1)两正电荷连线上的 φx图像如图 4 所示。

　(2)两正电荷连线的中垂线上的 φy 图像如图 5 所示。

　三、几种常见的 Ex 图像 1．点电荷的 Ex 图像 正点电荷及负点电荷的电场强度 E 随坐标 x 变化关系的图像大致如图 1 和图 2 所示。

　2．两个等量异号点电荷的 Ex 图像 (1)两电荷连线上的 Ex 图像如图 3 所示。

　(2)两电荷连线的中垂线上的 Ey 图像如图 4 所示。

　3．两个等量同号点电荷的 Ex 图像 (1)两电荷连线上的 Ex 图像如图 5 所示。

　(2)两电荷连线的中垂线上的 Ey 图像如图 6 所示。

　例 3 (多选)两电荷量分别为 q1 和 q2 的点电荷放在 x 轴上的 O、M 两点，两点电荷连线上各点电势 φ 随 x 变化的关系如图所示，其中 A、N 两点的电势为零，ND 段中的 C 点电势最高，则(

　) A．q1 一定带正电，q2 一定带负电 B．A、N 点的电势为零，场强也为零 C．C 点电势不为零，但场强为零 D．N、C 间场强的方向沿 x轴负方向 [变式训练 3] 静电场在 x 轴上的场强 E 随 x 的变化关系如图所示，x 轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿 x 轴运动，则点电荷(

　) A．在 x2 和 x4 处电势能相等 B．由 x1 运动到 x3的过程中电势能增大 C．由 x1 运动到 x4 的过程中静电力先增大后减小 D．由 x1 运动到 x4 的过程中静电力先减小后增大 1．如图所示，在两等量异种点电荷连线上有 D、E、F 三点，且 DE＝EF。K、M、L 分别为过 D、E、F 三点的等势面。一不计重力的带负电粒子，从 a点射入电场，运动轨迹如图中实线所示，以|Wab|表示该粒子从 a 点到 b 点静电力做功的数值，以|Wbc|表示该粒子从 b 点到 c 点静电力做功的数值，则(

　) A．|Wab|＝|Wbc| B．|Wab|<|Wbc| C．粒子由 a 点到 b 点，动能减少 D．a 点的电势较 b 点的电势低 2．(多选)如图所示，实线为某孤立点电荷产生的电场的几条电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域的运动轨迹，a、b 是轨迹上的两点。若带电粒子在运动中只受静电力的作用，下列说法中正确的是(

　) A．该电场是由负点电荷所激发的电场 B．电场中 a 点的电势比 b 点的电势高 C．带电粒子在 a 点的加速度比在 b 点的加速度大 D．带电粒子在 a 点的动能比在 b 点的动能大 3．(多选)如图甲所示，直

　线 MN 表示某电场中一条电场线，a、b 是线上的两点，将一带负电荷的粒子从 a 点处由静止释放，粒子从 a 运动到 b 过程中的 vt 图线如图乙所示，设 a、b 两点的电势分别为 φa、φb，场强大小分别为 Ea、Eb，粒子在 a、b 两点的电势能分别为 Epa、Epb，不计重力，则有(

　) A．φa＞φb B．Ea＞Eb C．Ea＜Eb D．Epa＞Epb 4．(多选)如图所示，虚线 a、b、c 表示电场中的三个等势面与纸平面的交线，且相邻等势面之间的电势差相等。实线为一带正电荷粒子仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹，M、N 是这条轨迹上的两点，则下列说法中正确的是(

　) A．三个等势面中，a 的电势最高 B．对于 M、N 两点，带电粒子通过 M 点时电势能较大 C．对于 M、N 两点，带电粒子通过 M 点时动能较大 D．带电粒子由 M 运动到 N 时，加速度增大 5.(多选)一带负电的粒子只在静电力作用下沿x 轴正向运动，其电势能 Ep 随位移 x 变化的关系如图所示，其中O～x2 段是关于直线 x＝x1 对称的曲线，x2x3 段是直线，则下列说法正确的是(

　) A．x1 处电场强度最小，但不为零 B．粒子在O～x3 段做变速运动，x2～x3 段做匀变速运动 C．x2～x3 段的电场强度大小方向均不变，为一定值 D．在 O、x1、x2、x3 处电势 φ0、φ1、φ2、φ3 的关系为 φ1>φ2＝φ0>φ3 6．静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置。如图所示为该透镜工作原理示意图，虚线表示这个静电场在 xOy 平面内的一簇等势线，等势线形状相对于 x 轴、y 轴对称，且相邻两等势线的电势差相等。图中实线为某个电子通过电场区域时的轨迹示意图，关于此电子从 a 点运动到 b 点过程中，下列说法正确的是(

　) A．a 点的电势高于 b点的电势 B．电子在 a 点的加速度大于在 b 点的加速度 C．电子在a 点的动能大于在 b 点的动能 D．电子在 a 点的电势能大于在 b 点

　的电势能 7．(多选)如图所示空间有一匀强电场，电场方向与纸面平行。一电荷量为－q 的粒子(重力不计)，在恒力 F 的作用下沿虚线由 M 匀速运动到 N。已知力 F 和 MN 间夹角为 θ，M、N 间距离为 d，则下列结论中正确的是(

　) A．M、N 两点的电势差为 B．匀强电场的电场强度大小为 C．带电粒子由 M 运动到 N 的过程中，电势能增加了 Fdcosθ D．若要使带电粒子由 N 向 M 做匀速直线运动，则 F必须反向 8．(多选)如图所示，为某一点电荷所形成的一簇电场线，a、b、c 三条虚线为三个带电粒子以相同的速度从 O 点射入电场的运动轨迹，其中 b 虚线为一圆弧，AB 的长度等于 BC 的长度，且三个粒子的电荷量大小相等，不计粒子重力，则以下说法正确的是(

　) A．a 一定是正粒子的运动轨迹，b 和 c 一定是负粒子的运动轨迹 B．由于 AB 的长度等于 BC 的长度，故 UAB＝UBC C．a 虚线对应的粒子的加速度越来越小，c 虚线对应的粒子的加速度越来越大，b 虚线对应的粒子的加速度大小不变 D．b 虚线对应的粒子的质量大于 c 虚线对应的粒子的质量 9.某带电物体在所在空间形成一个电场，沿 x 轴方向其电势 φ 的变化如图所示。电子从 O 点以 v0 的初速度沿 x 轴正方向射出，依次通过 a、b、c、d 点(设电子的质量为 m)。则下列关于电子运动的描述正确的是(

　) A．电子在 Oa 间做匀加速直线运动 B．电子在 Od 之间一直在做减速直线运动 C．要使电子能到达无穷远处，粒子的初速度 v0 至少为 D．电子在 c、d 间运动时其电势能一定减小 10．(多选)如图所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，上面放一质量为 m 的带正电小球，小球与弹簧不连接，施加外力 F 将小球向下压至某位置静止。现撤去 F，小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力、静电力对小球所做的功分别为 W1 和 W2，小球离开弹簧时速度为 v，不计

　空气阻力，则上述过程中(

　) A．小球与弹簧组成的系统机械能守恒 B．小球的重力势能增加－W1 C．小球的机械能增加 W1＋mv2 D．小球的电势能减少 W2 11．如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正电荷 Q 为圆心的某圆交于 B、C 两点，质量为 m、电荷量为－q 的有孔小球从杆上 A 点无初速度下滑，已知 q≪Q，AB＝h，小球滑到 B 点时速度大小为，求：

　(1)小球由 A 到 B 的过程中静电力做的功；

　(2)A、C 两点的电势差。

　12．如图所示，在足够长的光滑绝缘水平直线轨道上方 h 高度的 P 点，固定电荷量为＋Q 的点电荷。一质量为 m、电荷量为＋q 的物块(可视为质点)，从轨道上的 A 点以初速度 v0 沿轨道向右运动，当运动到 P 点正下方 B 点时速度为 v。已知点电荷产生的电场在 A点的电势为 φ(取无穷远处电势为零)，PA 连线与水平轨道的夹角为60°，试求：

　(1)物块在 A 点时受到轨道的支持力大小；

　(2)点电荷＋Q 产生的电场在 B 点的电势。

　专题二 电场的能的性质 课题任务 电场线、等势线、运动轨迹的综合问题 电场线的特点是有方向，其他两种线没有方向，有时电场线的方向也可能未知。轨迹只有一条线，其他两种线都可能是多条线同时出现。

　解决该类问题应熟练掌握以下知识及规律 (1)带电粒子所受合力(往往仅为静电力)指向轨迹曲线的内侧。

　(2)某点速度方向为轨迹切线方向。

　(3)电场线或等差等势面密集的地方场强大。

　(4)电场线垂直于等势面。

　(5)顺着电场线方向电势降低最快。

　(6)静电力做正功，电势能减小； 静电力做负功，电势能增大。

　有时还要用到牛顿第二定律、动能定理等知识。

　例 1 (多选)一粒子从 A 点射入电场，从 B 点射出，电场的等势面和粒子的运动轨迹如图所示，图中左侧前三个等势面彼此平行，不计粒子的重力。下列说法正确的有(

　) A．粒子带负电荷 B．粒子的加速度先不变，后变小 C．粒子的速度不断增大 D．粒子的电势能先减小，后增大 [规范解答] 电场线如图所示，由于受力总指向运动轨迹的凹侧，故粒子带负电荷，A 正确； 由电场线分布知静电力先不变，后越来越小，由 a＝知 B 正确； 静电力一直做负功，粒子速度一直减小，电势能一直增加，C、D 错误。

　[完美答案] AB 带电粒子在电场中运动轨迹问题的易错点 (1)误认为电场线方向就是电荷受到静电力作用的方向。

　(2)误认为电场线是电荷在电场中的运动轨迹。

　(3)静电力随便画，以为只朝弯曲的一侧就可以。静电力只可能有两个方向：要么沿电场强度的方向(对应于正电荷)，要么沿电场强度的反方向(对应于负电荷)。

　(4)错误地根据电场线方向来判断电场强度大小，应根据电场线的疏密来判断电场强度的大小。

　[变式训练 1] 一个电子只在静电力作用下从 a 点运动到 b 点的轨迹如图虚线所示，图中一组平行实线可能是电场线也可能是等

　势面，则以下说法正确的是(

　) A．无论图中的实线是电场线还是等势面，a 点的场强都比 b 点的场强小 B．无论图中的实线是电场线还是等势面，a 点的电势都比 b 点的电势高 C．无论图中的实线是电场线还是等势面，电子在 a 点的电势能都比在 b 点的电势能小 D．如果实线是等势面，电子在 a 点的速率一定大于在 b 点的速率 答案 D 解析 若图中实线是电场线，电子所受的静电力水平向右，电场线方向水平向左，则 a 点的电势比 b 点低； 若实线是等势面，由于电场线与等势面垂直，电子所受静电力方向向下，则电场线方向向上，则 a 点的电势比 b 点高，故 B 错误。不论图中实线是电场线还是等势面，该电场是匀强电场，a 点和 b 点的场强大小相等，故 A 错误。如果图中实线是电场线，电子所受的静电力水平向右，静电力对电子做正功，电子电势能减小，电子在a 点的电势能比在 b 点的电势能大，故 C 错误。如果图中实线是等势面，电子所受静电力方向向下，静电力对电子做负功，则电子在b 点动能较小，即电子在 a 点的速率一定大于在 b 点的速率，故 D正确。

　课题任务 电场中的功能关系 1．静电力做功的计算方法 (1)由公式 W＝qElcosα 计算，此公式只适用于匀强电场。

　(2)由 WAB＝qUAB 计算，此公式适用于任何电场。

　(3)由电势能的变化计算：WAB＝EpA－EpB。

　(4)由动能定理计算：W 静电力＋W 其他力＝ΔEk。

　2．电场中的功能关系 (1)如果只有静电力做功，则动能和电势能之间相互转化，动能(Ek)和电势能(Ep)的总和守恒，即：

　①ΔEp＝－ΔEk。

　②静电力做正功，电势能减少，动能增加； 静电力做负功，电势能增加，动能减少。

　(2)除静电力之外其他力做正功，动能和电势能之和变大； 除静电力之外其他力做负功，动能和电势能之和变小。

　(3)如果只有静电力、重力和系统内弹力做功，则电势能和机械能之和保持不变。

　(4)如果只有静电力做功，机械能一定不守恒。

　3．电势能增、减的判断方法 (1)做功判断法―→静电力做正功，电势能减小； 静电力做负功，电势能增加。

　(2)公式法―→由 Ep＝qφp，将 q、φp 的大小、正负号一起代入公式，Ep 的正值越大，电势能越大，Ep 的负值越小，电势能越大。

　(3)能量守恒法―→在电场中，若只有静电力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小，反之，电势能增加。

　(4)电荷电势法―→正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大。

　例 2 如图所示，在 O 点放置一个正电荷，在过 O 点的竖直平面内的 A 点自由释放一个带正电的小球，小球的质量为 m、电荷量为 q。小球落下的轨迹如图中虚线所示，它与以 O 为圆心、R 为半径的圆(图中实线表示)相交于 B、C 两点，O、C 在同一水平线上，∠BOC＝30°，A 距离 OC 的竖直高度为 h。若小球通过 B 点的速度为v，试求：

　(1)小球通过 C 点的速度大小；

　(2)小球由 A 到 C 的过程中电势能的增加量。

　[规范解答] (1)因 B、C 两点电势相等，小球由 B 到 C 只有重力做功，由动能定理得：

　mgR·sin30°＝mv－mv2，得：vC＝。

　(2)由 A 到 C 应用动能定理得：

　WAC＋mgh＝mv－0， 得：WAC＝mv－mgh＝mv2＋mgR－mgh， 由电势能变化与静电力做功的关系得：

　ΔEp＝－WAC＝mgh－mv2－mgR。

　[完美答案] (1) (2)mgh－mv2－mgR 在解决电场中的能量问题时常用到的基本规律有动能定理、能量守恒定律，以及功能关系。

　(1)应用动能定理解决问题需研究合外力做的功(即总功)。

　(2)应用能量守恒定律解决问题需注意电势能和其他形式能之间的转化。

　(3)应用功能关系解决问题需明确静电力做功与电势能改变之间的对应关系。

　[变式训练 2] (多选)如图所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是 O，最低点是 P，直径 MN 水平。a、b 是两个完全相同的带正电小球(视为点电荷)，b 固定在 M 点，a 从 N 点静止释放，沿半圆槽运动经过 P 点到达某点 Q(图中未画出)时速度为零，则小球 a(

　) A．从 N 到 Q 的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小 B．从 N到 P 的过程中，速率先增大后减小 C．从 N 到 Q 的过程中，电势能一直增加 D．从 P 到 Q 的过程中，动能减少量小于电势能增加量 答案 BC 解析 小球 a 从 N 到 Q 的过程中，重力不变，库仑力 F 逐渐增大，库仑力 F 与重力的夹角逐渐变小，因此，F 与 mg 的合力逐渐变大，A 错误； 从 N 到 P 的过程中，重力沿速度方向的分力等于 F 沿速度反方向的

　分力时，速率最大，B 正确； 从 N 到 Q，F 一直做负功，电势能一直增加，C 正确； 从 P 到 Q，根据能量守恒知电势能的增加量和重力势能的增加量之和等于动能的减少量，所以电势能的增加量小于动能的减少量，D错误。

　课题任务 电场的相关图像 一、几种图像 1．φx 图像 (1)可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。

　(2)φx 图线的斜率的绝对值等于场强大小，电场强度为零处，其切线的斜率为零； 斜率的正、负代表场强的方向。

　(3)分析电荷移动时电势能的变化，可用 WAB＝qUAB，进而分析WAB 的正负，然后做出判断，或直接用 Ep＝qφ 判断。

　2．Ex 图像 (1)反映了电场强度随位移变化的规律。

　(2)E>0 表示场强沿 x 轴正方向； E<0 表示场强沿 x 轴负方向。

　(3)图线与 x 轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定。

　(4)在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。

　3．Epx 图像 (1)反映了电势能随位移变化的规律。

　(2)由 WAB＝F 电 xAB、WAB＝－ΔEpAB 得：F 电＝－，即图线的切线斜率的绝对值等于静电力的大小，正、负表示静电力的方向。

　(3)进一步判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况。

　二、常见电场的 φx 图像 1．点电荷的 φx 图像(取无限远处电势为零) (1)正点电荷的 φx 图像如图 1 所示。

　(2)负点电荷的 φx 图像如图 2 所示。

　2．两个等量异种点电荷连线上的 φx 图像：如图 3 所示。

　3．两个等量同种点电荷的 φx 图像 (1)两正电荷连线上的 φx图像如图 4 所示。

　(2)两正电荷连线的中垂线上的 φy 图像如图 5 所示。

　三、几种常见的 Ex 图像 1．点电荷的 Ex 图像 正点电荷及负点电荷的电场强度 E 随坐标 x 变化关系的图像大致如图 1 和图 2 所示。

　2．两个等量异号点电荷的 Ex 图像 (1)两电荷连线上的 Ex 图像如图 3 所示。

　(2)两电荷连线的中垂线上的 Ey 图像如图 4 所示。

　3．两个等量同号点电荷的 Ex 图像 (1)两电荷连线上的 Ex 图像如图 5 所示。

　(2)两电荷连线的中垂线上的 Ey 图像如图 6 所示。

　例 3 (多选)两电荷量分别为 q1 和 q2 的点电荷放在 x 轴上的 O、M 两点，两点电荷连线上各点电势 φ 随 x 变化的关系如图所示，其中 A、N 两点的电势为零，ND 段中的 C 点电势最高，则(

　) A．q1 一定带正电，q2 一定带负电 B．A、N 点的电势为零，场强也为零 C．C 点电势不为零，但场强为零 D．N、C 间场强的方向沿 x轴负方向 [规范解答] 根据沿电场线的方向电势越来越低，可以判断 q1 一定带正电，q2 一定带负电，A 正确； A 点是异种点电荷连线上的点，电势为零，但电场强度不为零，B 错误； C 点在 ND 段电势最高，过 C 点作切线，其斜率为零，场强为零，C

　正确； 在 NC 段，由于电势沿 CN 方向越来越低，故电场强度方向沿 x 轴负方向，D 正确。

　[完美答案] ACD 将题中的 φx 图像与熟悉的 φx 图像进行对比分析可以尽快找到答案，这之间要注意电荷量的变化会引起图像的偏移。

　[变式训练 3] 静电场在 x 轴上的场强 E 随 x 的变化关系如图所示，x 轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿 x 轴运动，则点电荷(

　) A．在 x2 和 x4 处电势能相等 B．由 x1 运动到 x3 的过程中电势能增大 C．由 x1 运动到 x4 的过程中静电力先增大后减小 D．由 x1 运动到 x4 的过程中静电力先减小后增大 答案 BC 解析 由图像可知，使正电荷沿 x 轴正向移动，由 x2 移动到 x4 的过程静电力做功不为零，在两点处的电势能不相等，A 错误； 由 x1 移动到 x3 的过程静电力沿 x 轴负方向，静电力做负功，电势能增大，B 正确； 由 x1 到 x4 的过程场强先增大后减小，所以静电力先增大后减小，C正确，D 错误。

　1．如图所示，在两等量异种点电荷连线上有 D、E、F 三点，且DE＝EF。K、M、L 分别为过 D、E、F 三点的等势面。一不计重力的带负电粒子，从 a 点射入电场，运动轨迹如图中实线所示，以|Wab|表示该粒子从 a 点到 b 点静电力做功的数值，以|Wbc|表示该粒子从b 点到 c 点静电力做功的数值，则(

　) A．|Wab|＝|Wbc| B．|Wab|<|Wbc| C．粒子由 a 点到 b 点，动能减少 D．a 点的电势较 b 点的电势低 答案 C 解析 由等量异种点电荷的电场线特点可知靠近电荷处电场强度大，类比公式 U＝Ed 知|Uab|>|Ubc|，而 W＝

　qU，所以|Wab|>|Wbc|，则 A、B 均错误； 从带负电粒子的运动轨迹可知该粒子从 a 点到 c 点受到大体向左的作用力，故左侧为正电荷，从左向右电势降低，则 D 错误； 粒子由 a 点到 b 点，静电力做负功，电势能增加，动能减少，则 C正确。

　2．(多选)如图所示，实线为某孤立点电荷产生的电场的几条电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域的运动轨迹，a、b 是轨迹上的两点。若带电粒子在运动中只受静电力的作用，下列说法中正确的是(

　) A．该电场是由负点电荷所激发的电场 B．电场中a 点的电势比 b 点的电势高 C．带电粒子在 a 点的加速度比在 b 点的加速度大 D．带电粒子在 a 点的动能比在 b 点的动能大 答案 CD 解析 根据题图示以及题干条件，无法判断场源电荷的正负，也不能判断出电场线的方向以及 a 点、b 点电势的高低，A、B 错误； 根据电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小的特点，得出Ea>Eb，利用牛顿第二定律可知 a＝＝，带电粒子在 a 点的加速度比在 b 点的加速度大，C 正确； 若粒子从 a 点运动到 b 点，静电力做负功，带电粒子的动能减小，若粒子从 b 点运动到 a 点，静电力做正功，带电粒子的动能增大，D正确。

　3．(多选)如图甲所示，直线 MN 表示某电场中一条电场线，a、b 是线上的两点，将一带负电荷的粒子从 a 点处由静止释放，粒子从 a 运动到 b 过程中的 vt 图线如图乙所示，设 a、b 两点的电势分别为 φa、φb，场强大小分别为 Ea、Eb，粒子在 a、b 两点的电势能分别为 Epa、Epb，不计重力，则有(

　) A．φa＞φb B．Ea＞Eb C．Ea＜Eb D．Epa＞Epb 答案 BD 解析 电场线为直线，带负

　电的粒子仅在静电力的作用下由静止释放，那么一定沿着静电力的方向运动，故电场强度的方向向左，b 点的电势高，A 错误； 由 vt 图线的斜率表示粒子运动的加速度可知粒子运动的加速度越来越小，故 b 点的场强小，Ea>Eb，B 正确，C 错误； 粒子由 a 到 b 的过程中，静电力做正功，电势能减少，D 正确。

　4．(多选)如图所示，虚线 a、b、c 表示电场中的三个等势面与纸平面的交线，且相邻等势面之间的电势差相等。实线为一带正电荷粒子仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹，M、N 是这条轨迹上的两点，则下列说法中正确的是(

　) A．三个等势面中，a的电势最高 B．对于 M、N 两点，带电粒子通过 M 点时电势能较大 C．对于 M、N 两点，带电粒子通过 M 点时动能较大 D．带电粒子由M 运动到 N 时，加速度增大 答案 CD 解析 由于带电粒子做曲线运动，所受静电力的方向必定指向轨迹的凹侧，且和等势面垂直，所以电场线方向是由 c 指向 b 再指向 a。根据沿电场线的方向电势降低，故 φc>φb>φa，A 错误。正电荷在电势高处电势能大，M 点的电势比 N 点电势低，故在 M 点电势能小，B 错误。根据能量守恒定律，电荷的动能和电势能之和保持不变，故粒子在 M 点的动能较大，C 正确。由于相邻等势面之间电势差相等，因 N 点等势面较密，则 EM<EN，即 qEM<qEN，由牛顿第二定律知，带电粒子从 M 点运动到N 点时，加速度增大，D 正确。

　5.(多选)一带负电的粒子只在静电力作用下沿 x 轴正向运动，其电势能 Ep 随位移 x 变化的关系如图所示，其中 O～x2 段是关于直线 x＝x1 对称的曲线，x2x3 段是直线，则下列说法正确的是(

　) A．x1 处电场强度最小，但不为零 B．粒子在 O～x3 段做变速运动，x2～x3 段做匀变速运动 C．x2～x3 段的电场强度大小方向均不变，

　为一定值 D．在 O、x1、x2、x3 处电势 φ0、φ1、φ2、φ3 的关系为 φ1>φ2＝φ0>φ3 答案 BCD 解析 由 WAB＝－ΔEp，WAB＝F电 Δx 得 F 电＝－，可知 Epx 图像切线的斜率等于静电力 F 电的负数。x1 处图像切线的斜率即静电力为零，电场强度为零，A 错误； x2～x3 段切线的斜率不变，静电力不变，故电场强度的大小、方向均不变，C 正确； O～x3 段切线的斜率先减小到零，后增大再不变，静电力先减小到零，后增大再不变，粒子做变速运动，x2～x3 段静电力不变，粒子做匀变速运动，B 正确； 根据电势能与电势的关系：Ep＝qφ，粒子带负电，q<0，可知电势能越大，粒子所在处的电势越低，所以 φ1>φ2＝φ0>φ3，故 D 正确。

　6．静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置。如图所示为该透镜工作原理示意图，虚线表示这个静电场在 xOy 平面内的一簇等势线，等势线形状相对于 x 轴、y 轴对称，且相邻两等势线的电势差相等。图中实线为某个电子通过电场区域时的轨迹示意图，关于此电子从 a 点运动到 b 点过程中，下列说法正确的是(

　) A．a 点的电势高于 b 点的电势 B．电子在 a 点的加速度大于在 b 点的加速度 C．电子在 a 点的动能大于在 b 点的动能 D．电子在 a 点的电势能大于在 b 点的电势能 答案 D 解析 根据合力指向轨迹内侧和电场线与等势线垂直可知，电子在 y 轴左侧受到一个斜向右下方的静电力，所以在 y 轴左侧电场线指向左上方，故 a 点的电势低于 b 点的电势，故 A 错误； 根据等差等势线的疏密知道 b 处的电场线密，场强大，电子的加速度大，故 B 错误；

　根据负电荷在电势低处电势能大，可知电子在 a 处的电势能大于在b 处的电势能，从 a 到 b 电子的电势能一直减小，则电子从 a 点运动到 b 点的过程中，静电力始终做正功，动能增加，故 C 错误，D正确。

　7．(多选)如图所示空间有一匀强电场，电场方向与纸面平行。一电荷量为－q 的粒子(重力不计)，在恒力 F 的作用下沿虚线由 M匀速运动到 N。已知力 F 和 MN 间夹角为 θ，M、N 间距离为 d，则下列结论中正确的是(

　) A．M、N 两点的电势差为 B．匀强电场的电场强度大小为 C．带电粒子由 M 运动到 N 的过程中，电势能增加了 Fdcosθ D．若要使带电粒子由 N 向 M 做匀速直线运动，则 F 必须反向 答案 AC 解析 粒子做匀速运动，静电力必与恒力 F 平衡，由 M 点运动到 N 点，静电力做功为 W＝－Fdcosθ，UMN＝＝，A 正确； 由粒子受力知，电场强度 E＝，B 错误； 电势能的增加量等于克服静电力做的功 Fdcosθ，C 正确； 粒子做匀速直线运动的条件是受力平衡，即由 N 运动到 M，受力不变，D 错误。

　8．(多选)如图所示，为某一点电荷所形成的一簇电场线，a、b、c 三条虚线为三个带电粒子以相同的速度从 O 点射入电场的运动轨迹，其中 b 虚线为一圆弧，AB 的长度等于 BC 的长度，且三个粒子的电荷量大小相等，不计粒子重力，则以下说法正确的是(

　) A．a 一定是正粒子的运动轨迹，b 和 c 一定是负粒子的运动轨迹 B．由于 AB 的长度等于 BC 的长度，故 UAB＝UBC C．a 虚线对应的粒子的加速度越来越小，c 虚线对应的粒子的加速度越来越大，b 虚线对应的粒子的加速度大小不变 D．b 虚线对应的粒子的质量大于 c虚线对应的粒子的质量 答案 CD 解析 由于电场线没有明确方向，

　因此无法确定三个带电粒子的电性，故 A 错误； 由于该电场不是匀强电场，虽然 AB 的长度等于 BC 的长度，但 AB 段与 BC 段对应的电场强度不等，故 UAB≠UBC，故 B 错误； 根据电场线的疏密程度可知，a 虚线对应的粒子的加速度越来越小，c 虚线对应的粒子的加速度越来越大，b 虚线对应的粒子的加速度大小不变，故 C 正确； 由于 b 虚线对应的带电粒子所做的运动为匀速圆周运动，而 c 虚线对应的粒子在不断地向场源电荷运动，b 虚线对应的带电粒子 Eq＝mb，而 c 虚线对应的带电粒子满足关系式 Eq>mc，即 mb>mc，故 D 正确。

　9.某带电物体在所在空间形成一个电场，沿 x 轴方向其电势 φ的变化如图所示。电子从 O 点以 v0 的初速度沿 x 轴正方向射出，依次通过 a、b、c、d 点(设电子的质量为 m)。则下列关于电子运动的描述正确的是(

　) A．电子在 Oa 间做匀加速直线运动 B．电子在Od 之间一直在做减速直线运动 C．要使电子能到达无穷远处，粒子的初速度 v0 至少为 D．电子在 c、d 间运动时其电势能一定减小 答案 C 解析 Oa 间电势不变，故电子在 Oa 间做匀速直线运动，其动能不变，A、B 错误； 若粒子恰能到达无穷远处，由功能关系知 eφ0＝mv，解得 v0＝ ，C正确； 电子在 c、d 间运动时，其电势越来越低，则静电力对其做负功，电势能增加，D 错误。

　10．(多选)如图所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，上面放一质量为 m 的带正电小球，小球与弹簧不连接，施加外力 F 将小球向下压至某位置静止。现撤去 F，小

　球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力、静电力对小球所做的功分别为 W1 和 W2，小球离开弹簧时速度为 v，不计空气阻力，则上述过程中(

　) A．小球与弹簧组成的系统机械能守恒 B．小球的重力势能增加－W1 C．小球的机械能增加 W1＋mv2 D．小球的电势能减少 W2 答案 BD 解析 由于静电力做正功，故小球与弹簧组成的系统机械能增加，故 A 错误； 重力做功是重力势能变化的量度，由题意知重力做负功 W1，重力势能增加－W1，故 B 正确； 小球机械能的增加量等于重力势能增加量与动能增加量之和，即－W1＋mv2，故 C 错误； 静电力做功是电势能变化的量度，静电力做正功 W2，电势能减少 W2，故 D 正确。

　11．如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正电荷 Q 为圆心的某圆交于 B、C 两点，质量为 m、电荷量为－q 的有孔小球从杆上 A 点无初速度下滑，已知 q≪Q，AB＝h，小球滑到 B 点时速度大小为，求：

　(1)小球由 A 到 B 的过程中静电力做的功；

　(2)A、C 两点的电势差。

　答案 (1)mgh (2)－ 解析 (1)因为杆是光滑的，所以小球从A 到 B 过程中只有两个力做功：静电力做功 WE 和重力做功 mgh， 由动能定理得：WE＋mgh＝mv， 代入已知条件 vB＝得静电力做功 WE＝m·3gh－mgh＝mgh。

　(2)因为 B、C 在同一个等势面上， 所以 φB＝φC，即 UAC＝UAB， 由 W＝qU 得 UAC＝UAB＝＝－。

　12．如图所示，在足够长的光滑绝缘水平直线轨道上方 h 高度的 P 点，固定电荷量为＋Q 的点电荷。一质量为 m、电荷量为＋q 的物块(可视为质点)，从轨道上的 A 点以初速度 v0 沿轨道向右运动，当运动到 P 点正下方 B 点时速度为 v。已知点电荷产生的电场在 A点的电势为 φ(取无穷远处电势为零)，PA 连线与水平轨道的夹角为60°，试求：

　(1)物块在 A 点时受到轨道的支持力大小；

　(2)点电荷＋Q 产生的电场在 B 点的电势。

　答案 (1)mg＋ (2)(v－v2)＋φ 解析 (1)物块在 A 点受重力、静电力、支持力。

　分解静电力，由竖直方向受力平衡得 FN＝mg＋ksin60°，又因为 h＝rsin60°， 由以上两式解得支持力 FN＝mg＋。

　(2)从 A 运动到 P 点正下方 B 点的过程中， 由动能定理得 qUAB＝mv2－mv 又因为 UAB＝φA－φB＝φ－φB， 由以上两式解得 φB＝(v－v2)＋φ。

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