苏科版九年级下册第6章：图形相似（6.4-6.5）学案

　 苏科版九年级下册图形的相似（6.4-6.5 ）学案 6.4 探索三角形相似的条件 一、概念 1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

　2.两角分别相等的两个三角形相似。

　3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

　4.三边成比例的两个三角形相似。

　二、典型例题 1．下列命题中：①长度相等的弧是等弧；②有一个角对应相等的两个等腰三角形相似；③对角线互相垂直平分的四边形是正方形；④有两边及一角对应相等的两个三角形全等，真命题的个数是（

　）

　A．3 B．2 C．1 D．0 2．如图所示， AB 是 O 的直径， D E 、 是半圆上任意两点，连接, AD DE AE 、与 BD 相交于点 C ，若添加一个条件使 ADC 与 ABD △ 相似，则可添加下列条件中的（

　 ）

　A． DEBE  B． AD DE 

　C． // AB DE

　D．2AD BC CD  

　3．如图，点 D，E 分别在 ABC 的, AB AC 边上，增加下列哪些条件不能使ADE 与 ACB △ 相似（

　）

　A． AED B  

　B．AE DEAB BC

　C．AD AEAC AB

　D． ADE C  

　4．如图， D 是 ABC 的 AB 边上的一点，在直线 AC 上找一点 E ，使得 ADE与 ABC 相似，则满足这样条件的 E 点有（

　）

　A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．1 个或 2 个 5．如图，在△ABC 中，BD⊥AC 于点 D，AE⊥BC 于点 E，交 BD 于点 F，下列三角形中不一定与△BCD 相似的是（

　）

　A．△BFE B．△AFD C．△ACE D．△BAE 6．如图，在 ABC 中，D 是 BC 上一点，连接1, ,3BDAD FCD 是 AD 的中点，连接 BF 并延长交 AC 于点 E，则AEEC的值为（

　）

　 A．15 B．14 C．25 D．13

　7．在 Rt ABC 中， 90 30 C A       ， ，点 P 为 AC 中点，经过点 P 的直线截 ABC ，使截得的三角形与 ABC 相似，这样的直线共有______条． 8．如图， ABC 中， BC BA  ，点 D 是边 BC 上的一个动点（点 D 与点, B C不重合），若再增加一个条件，就能使 ABD △ 与 ABC 相似，则这个条件可以是____（写出一个即可）．

　9．如图，在 Rt△ABC 的直角边 AC 上有一任意点 P（不与点 A、C 重合），过点 P 作一条直线，将△ABC 分成一个三角形和一个四边形，则所得到的三角形与原三角形相似的直线最多有_____条．

　10．如图，在正方形网格中有 3 个斜三角形：① ABC ；② CDB △ ；③ DEB ；其中能与 ABC 相似的是_________．（ ABC 除外）

　 11．一个直角三角形的两条边分别为 4 和 8，另一个直角三角形的两条边分别为 3 和 6，那么这两个直角三角形_____（选填“一定”“不一定”或“一定不”）相似． 12．如图，在 ABC 中，四边形 DBFE 是平行四边形．求证：

　ADE EFC △ ∽△ ．

　 13．如图，点 D 在△ABC 的边 AB 上，AC2 ＝AD•AB，求证：△ACD∽△ABC．

　14．如图，在矩形 ABCD 中，点 E 为 BC 上一点，连接 DE，过点 A 作 AF⊥DE于点 F，求证：△DEC∽△ADF．

　15．如图，将矩形 ABCD 沿 CE 向上折叠，使点 B 落在 AD 边上的点 F 处，AB=8，BC=10．

　（1）求证：△AEF∽△DFC； （2）求线段 EF 的长度．

　 6.5 相似三角形的性质 一、概念 1.相似三角形的周长的比等于相似比 2.相似多边形周长的比等于相似比 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方 4.相似多边形面积的比等于相似比的平方 5.相似三角形对应线段的比等于相似比

　二、典型例题 1．如图， // DE BC ，12ADBD ，则 ADE 与 ABC 的面积比等于（

　）

　A．12 B．13 C．14 D．19 2．如图，梯形 ABCD 被对角线分成 4 个小三角形，已知 AOB 与 BOC 的面积分别为225m 和235m ．那么梯形的面积是（

　）2m ．

　A．144 B．140 C．160 D．无法确定 3．如图，将△ ABC 沿 BC 方向平移得到△ DEF ，△ ABC 与△ DEF 重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ ABC 面积的一半，已知 BC ＝6，则 EC 的长为（

　）

　A．3 B．3 2

　C．3 3

　D．4 4．两个相似三角形对应中线的长分别为 6cm 和 12cm，若较大三角形的面积是 12cm2 ，则较小的三角形的面积为（

　）cm 2 ．

　 A．1 B．3 C．4 D．6

　5．如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ ABC ＝60°， AC 为对角线， E 为 CD 边上一点，且 DE ＝2 EC ，连接 BE 交 AC 于点 F ，若 AB ＝6， BC ＝8，则△ ABF 的面积为__．

　6．如图，四边形 ABCD 是平行四边形， E 为 BC 边的中点， DE 、 AC 相交于点 F ，若 CEF △ 的面积为 6 ，则 ADF 的面积为_________．

　7．如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 交于点 O ，且 6 AC  ， 8 BD ，E 、 F 分别为 AO 、 DO 上两点，且 2AE DF  ，连接 BE 、 CF ，则 ABE △ 与DCF 的面积比为_______．

　8．如图，在 ABC 中，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，∠ ADE =∠ C ，四边形 DBCE的面积是 ADE 面积的 3 倍．若 DE =1.5，则 BC 的长为___．

　9．如图，∠CAE＝∠BAD，∠E＝∠C． （1）△ADE 与△ABC 相似吗？为什么？ （2）如果 AB＝3AD，S △ABC ＝9，那么△ADE 的面积为多少？

　10．已知：如图， AB 是⊙O 的直径， AC 切⊙O 于 A 点，且 AC AB  ， CO 交⊙O 于 P ， D 两点， BP 的延长线交 AC 于 E 点．

　（1）求证：

　// DA BE ； （2）求证：AP DAPC AB ．

　 课后练习 1．如图，已知 DAB CAE   ，那么添加一个条件后，依然无法．．判定 ABC ∽ ADE  （ ）

　A． AED C  

　B． D B  

　C．AB ACAD AE

　D．AD DEAB BC

　2．如图，四边形 ABCD 中，AD∽BC，∽B＝90°，E 为 AB 上一点，分别以 ED，EC 为折痕将两个角（∽A，∽B）向内折起，点 A，B 恰好落在 CD 边上的点 F处，若 AD＝2，BC＝6，则 EF 的值是（

　）

　A．2√3 B．√3 C．√5 D．2√5 3．如图，E 是矩形 ABCD 的边 CD 上的点，BE 交 AC 于 O，已知 COE 与 BOC的面积分别为 2 和 8，则四边形 AOED 的面积为（

　）

　A．16 B．32 C．38 D．40 4．如图，在 ABC 中， // DE BC ，若12ADBD ，则下列结论正确的是（

　）

　A．12DEBC

　 B．12AGFG

　 C． ADE 周长：

　ABC 周长12

　D．ADE 面积：

　ABC 面积13

　5．已知∽ ABC 与∽ DEF 相似且周长之比为 4:9 ，则∽ ABC 与 DEF 的对应角平分线之比为（

　）

　A． 2:3

　B． 16:81

　C． 9:4

　D． 4:9

　 6．如图，已知∽1＝∽2＝∽3，图中有_______对相似三角形．

　7．如图，在 ABC  中， 120 BC  ，高 60 AD ，正方形 EFGH 一边在 BC 上，点 E ， F 分别在 AB ， AC 上， AD 交 EF 于点 N ，则 AN 的长为___．

　8．将三角形纸片(∽ABC)按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B′，折痕为 EF．已知 AB＝AC＝3，BC＝4，若以点 B′，F，C 为顶点的三角形与∽ABC 相似，则 BF 的长度是_________．

　 9．如图，在 ABC  中， D ， E 分别是 AB ， AC 上一点，且 AED B   ．若5 AE  ， 9 AB  ， 7 CB ，求 ED 的长．

　10．如图，已知 P 是菱形 ABCD 中 CD 边上一点，AP 交对角线 BD 于点 E，将ADP  沿 AP 翻折得 AFP  ，FP 交边 BC 于点 G， // FP BD ．

　（1）求证：

　DE BG  ； （2）若 : 1:3 CP DP ， 7 AP  ，求 FG 的长．

　 11．如图，在锐角三角形 ABC 中， D 为 BC 边的中点， F 为 AB 边所在的直线上一点，连接 CF 交 AD 延长线于 E ，已知14EC CF  ，问：

　（1）

　F 点此时的位置；

　（2）求AFAB的值．

　12．如图，Rt∽ABC，∽C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点 P 从点 C 出发，以2cm/s 的速度沿 CA 向点 A 匀速运动，同时点 Q 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿 BC 向点 C 匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．

　（1）求经过几秒后，∽PCQ 的面积等于∽ABC 面积的25？ （2）经过几秒，∽PCQ 与∽ABC 相似？

　13．如图 1，在∽ABC 中，∽B＝30°，AB=4 cm，AC=6 cm，点 D 从点 B 出发以2cm/s 的速度沿折线 B—A—C 运动，同时点 E 也从点 B 出发以 1cm/s 的速度沿 BC 运动，当某一点运动到 C 点时，两点同时停止运动．设运动时间为 x（s），∽BDE 的面积为 y（cm 2 ）．

　（1）如图 2，当点 D 在 AC 上运动时，x 为何值，∽ABD∽∽ACB； （2）求 y（cm 2 ）关于 x（s）的函数表达式； （3）当点 D 在 AC 上运动时，存在某一时段的∽BDE 的面积大于 D 在 AB 上运动的任意时刻的∽BDE 的面积，请你求出这一时段 x 的取值范围．

　 参考答案 6.4 探索三角形相似的条件 1．D 2．B 3．B 4．D 5．D 6．B 7．3 8．答案不唯一，如：

　BAD C  

　9．4 10．③（ DEB ）

　11．不一定 12．见解析 解：证明：∵四边形 DBFE 是平行四边形， ∴DE∥BC，EF∥AB， ∴∠CEF=∠A，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△EFC． 13．证明见解析． 解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A=∠D=∠B=90°，CD=AB=8， 根据折叠的性质得∠EFC=∠B=90°， ∴∠AFE+∠AEF=∠AFE+∠DFC=90°， ∴∠AEF=∠DFC， ∴△AEF∽△DFC； （2）根据折叠的性质得：CF=BC=10，BE=EF， ∴2 26 D CF F CD   ， ∴AF=4，

　 ∵AE=AB-BE=8-EF， ∴EF2 =AE 2 +AF 2 ， 即 EF2 =（8-EF）

　2 +4 2 ， 解得：

　5 EF  ． 6.5 相似三角形的性质 1．D 2．A 3．B 4．B 5． 9 3

　6． 24

　7．23 8．3 9．（1）相似，理由见解析；（2）1 解：（1）证明：

　OB OP  ， OBP OPB   ， D OBP   ， OPB D   ， // AD BE  ； （2）证明：

　AC 是 O 的切线， 90 CAB    ， 90 BAP PAC     ． AB Q 是 O 的直径， 90 APB    ， 90 ABP BAP     ， ABP PAC   ， ABP D   ， D PAC   ，

　 C C   ， DAC APC   ∽ ， DA ACAP PC ， AB AC  ， AP DAPC AB ． 课后练习 1．D 2．A 3．C 4．B 5．D 6．4 7．20． 8．2 或127 （1）证明：在菱形 ABCD 中，BC=CD ∵FP / / BD ∴∠DEP＝∠APF＝∠APD，BG=DP， ∴DE=PD 又∵BG＝DP ，DE=PD ∴BG＝DE ． （2）连结 AC，交 BD，FP 分别为 M，N 两点． ∵四边形 ABCD 是菱形 AC BD   ，BM＝DM，PN=GN． ∵AB / / CD ∴∠ABE=∠PDE，∠BAE=∠DPE 在△ABE 和△PDE 中 ABE PDEBAE DPE  

　 ∴△ABE∽△PDE

　AB AE BEDP PE DE 

　∵DP=DE， ∴ AB=BE 又∵CP:DP=1:3，AP=7，设 CP= a

　 DP=DE=3CP=3 a ，AB=BE=4 a ， BD=7 a ，12EM a ， 在 Rt△ADM 和 Rt△AEM 中， AM2 = 2 2 2 27 1(4 ) ( ) 4 ( )2 2a a a   ， 得 a =2． 1sin sin4 7PNNAP MAE     ， 得7 7,4 2NP PG  ． 7 562 2FG FP PG DP PG       ．

　11．（1）点 F 在 AB 的延长线上，且 2 BF AB  ，理由详见解析；（2）3. （1）点 F 在 AB 的延长线上，且 BF＝2AB，过点 E 作 EG∥AF 交 BC 于点 G，∴△BCF∽△GCE，△ABD∽△EGD，∴FB BCEG CG =FCEC．AB BDEG DG ． ∵D 为 BC 的中点，EC14 CF，∴BD＝CD，CG14 BC，DG12 BD，∴BF＝4GE，AB＝2GE，∴BF＝2AB． （2）∵AF＝AB+BF＝6GE，∴62AF GEAB GE  3．

　（1）设经过 x 秒，△PCQ 的面积等于△ABC 面积的25，  1 1 22x 8 x 10 82 2 5       ， 解得：x 1 ＝x 2 ＝4， 答：经过 4 秒后，△PCQ 的面积等于△ABC 面积的25； （2）设经过 t 秒，△PCQ 与△ABC 相似， 因为∠C＝∠C，所以分为两种情况：

　①PC CQBC AC ， 2t 8 t8 10 ，解得：t167 ； ②PC CQAC BC ， 2t 8 t10 8 ，解得：t4013 ； 答：经过167秒或4013秒时，△PCQ 与△ABC 相似． 13．（1）103；（2）2210 221 52 53 3x ** x x     ；（3）2<x<3 解：（1）当 D 在 AC 上运动时，△ABD∽△ACB， ∴AB ACAD AB

　∴2AB AD AC  

　∵ 2 AB AD x  

　∴ 2 4 AD x  

　 ∴ 16(2 4) 6 x    ∴103x 

　（2）①当 D 在 AB 上时，作 DG BC  于点 G，如图，

　此时 0 2 4 x   ，即 0 2 x   时， ∵∠B=30° ∴12DG BD x  

　∴21 12 2y BE DG x   

　②当 D 在 AC 上时，作 AH BC  ， DQBC 于点 H，Q，

　∴AH//DQ ∴ 2 4 AD x   ，则 10 2 CD x  

　∴122AH AB  

　∵AH//DQ ∴△CAH∽△CDQ ∴DQ CDAH AC

　∴10 22 6DQ x 

　∴10 23xDQ

　∴21 1 10 2 1 52 2 6 3 3xy BE DQ x x x       

　 又∵ 0 2 4 6 x   

　∴ 2 5 x  

　∴y 与 x 之间的函数关系式为：2210 221 52 53 3x ** x x      （3）当 x=2 时，212y x  取得最大值 2，即当 D 在 AB 上时，面积最大值为 2 令21 5=23 3y x x    ，则有21 5=23 3x x  

　∴25 6 0 x x   

　∴ 2 x  或 3 x

　∴当 2 3 x   时，存在△BDE 的面积大于 D 在 AB 上运动的任意时刻的△BDE 的面积．

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