函数最值与值域

　函数的最值与值域 【 考纲要求】

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　1. 会求一些简单函数的定义域和值域； 2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义； 3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值. 【 知识网络】

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　 1 【 考点梳理】

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　考点一、函数最值的定义

　1.最大值：如果对于函数 ( ) f x 定义域 D 内的任意一个自变量 x ，存在0x D  ，使得0( ) ( ) f x f x  成立，则称0( ) f x 是函数 ( ) f x 的最大值． 注意：下面定义错在哪里？应怎样订正． 如果对于函数 ( ) f x 定义域 D 内的任意一个自变量 x ，都有 ( ) f x M  ，则称 M 是函数 ( ) f x 的最大值． 2.最小值的定义同学们自己给出． 考点二、函数最值的常用求法

　1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围． 2.判别式法：主要适用于可化为关于 x 的二次方程，由 0   （要注意二次项系数为 0 的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的 x 的值． 3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换． 4.不等式法：利用均值不等式求最值． 5.利用函数的性质求函数的最值 6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法 7.利用导数求函数的最值。

　要点诠释：

　函数的最值与值域

　 函数的值域

　函数的最大值 函数的最小值

　(1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值； (2)一些能转化为最值问题的问题: ( ) f x A  在区间 D 上恒成立  函数min( ) ( ) f x A x D  

　( ) f x B  在区间 D 上恒成立  函数max( ) ( ) f x B x D  

　在区间 D 上存在实数 x 使 ( ) f x B  函数min( ) ( ) f x B x D  

　在区间 D 上存在实数 x 使 ( ) f x A  函数max( ) ( ) f x A x D  

　【典型例题】

　类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值

　例 例 1.求函数2 2( )x x xf x e me e     xme  的最值． 【解析】2 2( ) ( )x x x xf x e e m e e    

　2( ) ( ) 2x x x xe e m e e     

　令x xt e e    （注意 t 的范围），这样所求函数就变为二次函数． 【总结升华】当式子中同时出现2 2x x   和1x x   时，都可以化为二次式． 举一反三：

　【变式】求函数 1 3 y x x     的值域． 解：平方再开方，得 4 2 (1 )(3 ), [ 3,1] y x x x      

　[2,2 2] y  

　类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值

　例 2. 求下列函数值域：

　(1)2 -12xyx；

　 ① x∈[5，10]；

　 ②x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2 -2x+3；

　 ①x∈[-1，1]；

　②x∈[-2，2]. 【解析】(1)2( 2)-5 -5 -52 2xy yx x x   +2可看作是由 左移 2 个单位， 再上移 2 个单位得到，如图

　①f(x)在[5，10]上单增，9 19[ (5), (10)] [ , ]7 12y f f  即 ； ②1(- , (1)) ( (-3), ) (- ) (7 )3y f f        即 ， ， ； (2)画出草图

　 ①y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]； ② [ (1), (-2)] [2,11] y f f  即 . 举一反三：

　【变式】已知函数1 3xf(x)1 3x. (1)判断函数 f(x)的单调区间； (2)当 x∈[1，3]时，求函数 f(x)的值域. 【解析】(1)1 3x ( 3x 1) 2 2f(x) 11 3x 1 3x 3x 1           1f(x) (- )3  在 ， 上单调递增，在1( , )3 上单调递增； (2)1[1,3] ( , )3  故函数 f(x)在[1，3]上单调递增 ∴x=1 时 f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3 时 f(x)有最大值5f(3)4 

　∴x∈[1，3]时 f(x)的值域为5[ 2, ]4  . 例 3.若函数 ( ) y f x  的值域是1[ ,3]2，则函数1( ) ( )( )F x f xf x  的值域是（

　 ）

　A．1[ ,3]2

　 B．10[2, ]3

　 C．5 10[ , ]2 3

　D．10[3, ]3 答案：

　B

　 【解析】令 ( ) t f x  ，则1[ ,3]2t ，1 10( ) [2, ]3F x tt  

　举一反三：

　【变式】设函数221 1( )2 1x xf ** x x     ， ，， ，

　≤则1( )(2)ff的值为（

　 ）

　A．1516

　B．2716

　 C．89

　 D． 18

　答案：A

　【解析】∵2(2) 2 2 2 4 f     ，

　∴21 1 1 15( ) ( ) 1 ( )(2) 4 4 16f ff    .

　类型三、含参类函数的最值与值域问题

　例 4（2015

　沈阳四模）函数  3 22 3 1, 0, 0a** x xf xe x     在   2,2  上的最大值为 2，则 a 的范围是（）

　A. 1ln2,2   

　 B. 10, ln22  

　 C.   ,0 

　D. 1, ln22  

　 【答案】D 【解析】先画出分段函数   f x 的图像如图:

　 显然当   2,0 x  时，函数   f x 的最大值为 2；欲使得函数  3 22 3 1, 0, 0a** x xf xe x     在   2,2  上的最大值为 2，则当 2 x  时，2ae 的值必须小于等于 2，即22ae  解得：1ln22a  .故选 D. 【变式】（2014

　甘肃一模）若不等式2 229t tat t 在   0,2 t 上恒成立，则 a 的取值范围是（ ）

　A. 1,16   

　 B. 2,113   

　 C. 1 4,6 13   

　 D. 1,2 26    【答案】B 【解析】

　函数2 22 1 2 tyt t t   ，在   0,2 t 上为减函数  当 2 t  时，22 tt的最小值为 1 ; 又2219 62 9t ttt ，当且仅当 3 t  时等号成立 所以函数29tyt在区间   0,2 上为增函数 可得 2 t  时，29tt 的最大值为213. 因为不等式2 229t tat t 在   0,2 t 上恒成立 所以2 2max min29t tat t           即2113a   可得 a 的取值范围是2,113   .

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